ワンポイントゼミ１１ ニュートン法

ワンポイントゼミ１１　ニュートン法

問題　２次以上の整方程式f(x)=0の実数解の一つをαとする。

（１）　曲線y=f(x)上のx=a₁に対応する点P₁における接線がx軸と交わる点のx座標をa₂とするとき、次の式が成り立つことを示せ。

　　

（２）　α=a₁+hとおいて、f(a₁+h)の近似式を考えることにより①式で求められるa₂はa₁よりもよい近似値であることを示せ。

（３）　①で求められるa₂に対して

　　

この操作を順次繰り返して方程式の近似値を求める操作をニュートン法という。

①、②を用いて、x³+3x−5=0の近似解を小数点第３位まで求めよ。

【解】

（１）　P₁(a₁,f(a₁))における接線の方程式は

　　

接線とx軸との交点の座標は(a₂,0)だから

　　

（２）　１次の近似式は

　　

f(α)=だから

　　

h=α−a₁だから、

　　

よって、a₂はa₁よりよい近似解である。

（３）　f(x)=x³+3x−5とすると、f'(x)=3x²+3。

a₁=1とすると、f(1)=−1、f'(1)=6だから

　　

a₃の計算は皆さんにお任せします。

a₃≒1.154です。

（解答終わり）

 

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