で、お前ら、「１つ質問！！」の答えがわかったのか

で、

お前らは、y=−x²に逆関数があるかどうかわかったんか？

x∈Xからy∈Yへの写像（関数）をf(x)とするとき、y=f(x)に逆関数が存在するためには、XからYへの写像が１対１でなければならない。

しかし、この関数f(x)の定義域は(−∞,+∞)であり、x≠0のとき、f(−x)=f(x)=−x²となって１対１ではないんだケロ。

例　f(−1)=f(1)=−1

したがって、f(x)（−∞<x<＋∞）という関数には逆関数は存在しない。

だけれども、

　　

とすれば、これは１対1の対応になるので、逆関数が定義できる。

この逆関数は、

　　

ここで、一つ、質問。

質問

y=−x²を解くと、

　　

となる。

しかし、

　　

は、この関数の逆関数ではない。

何故だ！！

さらに、なぜ、y≦0になるのか？

 

「なになに、y>0だと、根号の中が負になって、xが虚数になってしまうからだって。やっぱり、逆関数をわかっていないね〜。」

y=−x²のxとyをひっくり返して、

　　

これがこの逆関数だなんてことをやっているヒトにはわからないだろうな〜。

話を逆関数の凹凸に戻すケロ。

これならば、上に凸な関数の逆関数が下に凸な関数になることの反論になっている。

ならない場合がある。

しかし、y=−x²（x≦0）とすると、この逆関数は下に凸になる。

不思議だと思わないケロか？

何かが違うんだケロ。

ヒントは、最初の例だと減少関数、あとの例だと増加関数。

そして、どちらの関数も原点以外で微分可能。

ということは・・・。

思い出せ、逆関数の定義！！




わからないときは、定義に戻って考える。

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