ワンポイントゼミ１５ リサージュｗ

ワンポイントゼミ１５　リサージュｗ

問題　平面上を運動する点Pがある。時刻tにおけるP(x,y)の座標がx=cos2t、y=costであるとき、

（１）　点Pはどんな曲線をえがくか。

（２）　点Pの速さが最大になるときのPの座標を求めよ。

【解】

（１）
　　

（２）　Pの速さをvとすると

　　

とおくと

　　

極値をとる点ではf'(t)=0だから、
　　

sin2t=0のとき

　　

cos2t=−1/16のとき,f''(t)<0となり、このときが極大、かつ、最大になる。

よって、

　　

で、速さは最大になる。

（解答おわり）

大学入試の問題の多くには、大体、元ネタある。

そして、上の問題の元ネタは、リサージュ図形と呼ばれるもの。

リサージュ図形のもっともシンプルなものは次の形で表される。

　　

そして、αとβの値を変えると、次のような図形が得られる。

赤はα/β=３のとき、青はα/β=4のとき、そして、紫はα/β=3/2のとき。

理系のヒト、音響や電気の仕事に携わっている人ならば、この図を見て、すぐに、ピンとくるのではないだろうか。

そう、オシロスコープのあの図形です。