ワンポイントゼミ１８

ワンポイントゼミ１８

問題　関数F(x)の導関数はx³−3xで、F(0)=2である。

（１）　F(x)を求めよ。

（２）　F(x)の極大値と極小値を求めよ。

（３）　F(x)のグラフの概形をかけ。

【考え方】

（１）　関数F(x)の導関数はx³−3x。

つまり、

　　

したがって、不定積分の定義より

　　

F(0)=2だから、

　　

になり、

　　

（２）　F(x)が求まったので、極値を求めるために、求めたF(x)を微分するというのは、阿⑨の所業。これは問題文に既に

　　

と書いてある。

極値になる点では、F'(x)=0だから、

　　

したがって、極値になる可能性のある点のx座標はx=0、±√3。

極値の判定のために、第２次導関数を求めると、

　　

したがって、x=0のとき極大で極大値はF(0)=2。

x=±√3のとき、極小で、極大値は

　　

と判定することができる。

しかし、基本にかえって、増減表を書くことにする。




（３）

　　

だから、F(x)はx軸とx=±√2とy=±2で交わる。

また、

　　

だから、F(x)はx=±1で変曲点をもつ。凸凹表を書くと



したがって、グラフの概形は次のとおり。



この関数関数F(x)が偶関数、つまり、y軸に関して対称であることを利用すれば、この労力は半分になる。

タグ：微分積分