定積分の置換積分法2 [ネコ騙し数学]
定積分の置換積分法2
問題1 次の公式が成り立つことを証明せよ。
f(x)=f(a−x)のときは
f(a−x)=−f(x)のときは
【解】
t=a−xとおくと、dt=−dx。
また、x=0のときt=a、x=aのときt=0。したがって、
t=a/2−xとおくと、dt=−dx。
次に、
右辺第2項の定積分は、t=a−xとおくと、x=a/2のときt=a/2、x=aのときt=0、
したがって、f(x)=f(a−x)ならば
f(a−x)=−f(x)ならば
(解答終了)
(1)より
問題2
(1) 次の等式を証明せよ。(2) 次の定積分の値を求めよ。
【解】
(1)
右辺第1項は、x=−tとおくとdx=−dt。x=−aのときt=a、x=0のとき0。
したがって、
よって、
(2) (1)より
(解答終了)
問題3
(1) f(x)が0≦x≦1で連続な関数のとき、次の等式を証明せよ。(2) 次の定積分の値を求めよ。
【解】
(1) x=π−tとおくと、dx=−dt。x=0のときt=π、x=πのときt=0。
したがって、
(2) (1)より
ここで、t=cosxとおくと、
またx=0のときt=1、x=πのときt=−1。
したがって、
(解答終了)
問題4
とする。
次の□の中に文字、数を入れて、そのことを証明しなさい。
【解】
(1)
したがって、
にkをとればいい。
このとき、
だから、
よって、□の中は1/√2、1/√2
(2) 1−k²sin²θのところが1−k²x²になっているんだから、x=sinθと置けというのでしょう。
x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6とすると、だから、
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-10-20 12:00
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0