極限計算の補足説明２

極限計算の補足説明２

これまでに何度も証明しているけれど、前回の「無限大、無限小の問題」中に出ていた次の極限を

　　

証明することにする。

 

【証明１】

　　

とする。

　　

だから、f(x)は0<x<1で減少、x>1で増加し、x=1で極小。

よって、

　　

x>1とすると

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終了）

 

【証明２】

t=logxとおくと、x→∞のときt→∞だから

　　

（証明終了）

 

が既知でないというのであれば、マクローリンの定理より

　　

したがって、

　　

x>0のとき

　　

よって、

　　

また、mが正の整数、x>0のとき

　　

だから、

　　

 

また、

　　

は、t=1/xとおくと、x→0+0のときt→+∞だから

　　

である。

タグ：極限 微分積分