第１回 広義積分とは

第１回　広義積分とは

§１　広義積分の定義

これまで有界閉区間において連続な関数の積分について述べてきたが、たとえば、次のような積分を考えてみる。

　　

（A）については被積分関数であるlogxがx=0で定義されていない上に

　　

でなく、（２）は有界閉区間でないので、この積分を定義できないし、形式的に
　　

と計算することもできない。

しかし、
　　

と考えることにより、その値を定めることができる。

このように拡張された積分を広義積分という。

a、b（a<b）を実数、f(x)をa<x≦bで定義された関数とする。a<a'<bの任意の実数a'に対して、f(x)はa'≦x≦bで積分可能であるとする。このとき、

　　

が有限に存在するならば、この値を

　　

とあらわし、広義積分は収束するという。または、f(x)はa≦x≦bで広義積分可能という。すなわち、

　　

また、f(x)がa≦x<bで定義されていて、任意のb'（a<b'<b）に対してa≦x≦b'で積分可能であるとき、広義積分を

　　

と定義する。

f(x)がa<x<bで定義されていて、任意のa'、b'（a<a'<x<b'<b）に対してa'≦x≦b'で積分可能であるとき、適当なc（a<c<b）をとり、広義積分を

　　

と定義する。

また、f(x)がa≦x<∞で定義され、b>aである任意のbに対して、a≦x≦bで積分可能で

　　

が有限な極限値をもつとき、これを
　　

とあらわし、広義積分は収束する、または、f(x)はa≦x<∞で広義積分可能であるという。

同様に、
　　

と定義する。

広義積分が収束するとき、広義積分は絶対収束するという。

広義積分は収束するが、広義積分が収束しないとき、広義積分は条件収束するという。

§２　広義積分の計算例

問題１　次の広義積分の収束、発散を調べ、収束するものはその値を求めよ。

【解】

（１）　だから広義積分。

t>0とすると
　　

と収束するので、

　　

（２）　だから広義積分。

t>0とすると、
　　

となり、発散する。

（３）　t>1とすると

　　
と収束するので、

　　

（４）　t>1とすると

　　

と発散する。

（解答終了）

 

問題２　次の広義積分を求めよ。

【解】

（１）　t>0とすると、
　　

ロピタルの定理より

　　

よって、

　　

したがって

　　

（２）　だから広義積分。

t>0とすると

　　

ここで、ロピタルの定理より
　　

よって、

　　

したがって、

　　

（３）　となり、広義積分。

0<t<1とすると、
　　

したがって、

　　

（解答終了）

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