平均値の定理の問題

平均値の定理の問題

平均値の定理Ⅰ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

　　

となる点cが少なくとも１つ存在する。

平均値の定理Ⅱ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

　　

となるθが少なくともⅠつ存在する。

b−a=hと置けば、平均値の定理は

　　

である。

 

問題１　f(x)=√x、a=1、b=9のとき、平均値の定理

　　

が成立するcの値を求めよ。

【解】

　　

a=1、b=9だから

　　

（解答終了）

この問題の場合、

　　

で、点cは点a、点bの中点になっている。

 

問題２　のとき、平均値の定理

　　

になるθを求めよ。

【解】

　　

したがって、
　　

（解答終了）

θ=1/2だから、問題２も点aと点a+hの中点になっている。

θ=1/2という数字には何か秘密がありそうな・・・。

問題３　f(x)=x³のとき、等式

　　

となるθについて、を求めよ。

【解】

　　

だから、

　　

両辺のh→0の極限を取ると

　　

左辺の極限

　　

となるから、

　　

（解答終了）

ここでも、θ=1/2という数字が出てきた。

問題４　f(x)は連続な第２次導関数f''(x)を持つ関数で、とする。

平均値の定理によれば

　　

となるθが存在するが、このθがhに関係なく一定であれば、θ=1/2でなければならないことを証明せよ。

【解】

　　

の両辺をhで微分すると、θはhに関係なく一定だから、

　　

両辺をh（h≠0）で割り、h→0の極限を取ると
　　

（解答終了）

これは、もはや、偶然とは呼べないだろう。

実は、

関数f(x)がC²級数で、f''(x)=0ならば、

　　

とするとき、

　　

と必ずなるのであった。

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