空間曲線

空間曲線

 

空間の点Pの描く空間曲線は

　　

で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトルが

　　

と与えられることと同等である。

 

そして、接線ベクトルは

　　

で与えられる。

 

さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は

　　

となり、

　　

となり

　　

よって、

　　

となる。

dsを線元素という。

 

sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて

r=r(s)

とあらわすことが可能。

　　

は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。

何故ならば、

　　

で、ベクトルtの向きは接線ベクトルdr/dtと同じだから。

sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、とすれば

　　

だから、tは単位接線ベクトルである。

 

Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、

　　

は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、

　　

を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は、この曲線は直線である。

 

単位法線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、

　　

となり、はtに垂直である。また、

　　

と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、

　　

このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、

　　

となる。

 

また、曲率は

　　

 

曲率の逆数
　　

を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。

 

また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積

　　b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。

したがって、

　　

 

t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。

また、

　　

が成立し、τを捩率（れいりつ）という。

 

b・b=1なのでこれをsで微分すると
　　

となり、bとは直交する。

さらに、t・b=0をsで微分すれば、

　　

となる。

　　

なので、第２項はκn・b=0である。よって、
　　
となり、tとは垂直。

故に、 はbとtに垂直であり、nと同じ方向である。

 

t、n、bの３つの単位ベクトルは右手系を構成するので、

　　n=b×t=−t×b

となる。

これをsで微分すると、

　　

となる。

 

　　

の３つの公式を合せてフルネ・セレの公式と呼ぶ。

 

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