ベクトル関数の偏微分 [ネコ騙し数学]
ベクトル関数の偏微分
ベクトルAが2つのスカラーの関数、すなわち、A=A(u,v)であるとする。
2変数のベクトル関数A(u,v)の偏導関数を
で定義する。
A(u,v)のx成分、y成分、z成分をとすると、
である。
問 ベクトル関数の偏導関数を求めよ。
【解】
Aのx成分、y成分、z成分をとすると、
だから、
したがって、
(解答終)
なんとも見づらいので、ベクトル表示で次のようにしたほうがいいのだろう。
u、vの微小変化Δu、Δvに対して
になるとすれば、Δu、Δvをdu、dvであらわし、
をAの全微分という。
そして、uとvがtの関数、すなわち、u=u(t)、v=v(t)のとき、実関数のときと同様にチェーンルールが成立し
である。
また、uとvがs、tの関数、すなわち、u=u(s,t)、v=v(s,t)のとき
である。
曲面の方程式は、スカラー変数、u、vを用いれば、
であるから、曲面上の任意の点P(x,y,z)の位置ベクトルをとすれば、曲面は
で表される。これを曲面のベクトル方程式という。
vを一定としuを変化させれば、rは曲面上の曲線をあらわす。これをu曲線という。また、uを一定にしvを変化させれば、rは曲面上の曲線をあらわす。これをv曲線という。偏微分係数の定義よりあきらかなように、はu曲線の接線ベクトルであり、はv曲線の接線ベクトルである。
また、u、vが変数tの関数であるときには、は曲面上の曲線をあらわす。曲面上の点Pにおける接線ベクトルは
したがって、Pを通る曲面上の曲線の接線は、が定める平面上にある。この平面を点Pにおける接平面といい、Pを通り接平面に垂直な直線を法線、Pを始点とし接平面に垂直なベクトルを法線ベクトルという。したがって、
は法線ベクトルである。
問2 曲面z=1–x²–2y の点(1,1,−2)における接平面を求めよ。
【解】
x=u、y=vとおくと、z=1–u²–2v。よって、曲面上の点の位置ベクトルは
だから、
法線ベクトルnは
点(1,1,−2)のときu=x=1、v=y=1だから、(1,1,−2)における法線ベクトルnは
したがって、曲面z=1–x²–2y の点(1,1,−2)における接平面の方程式は
(解答終了)
曲面z=f(x,y)上の点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は
である。
これを使うのならば、
となるので、接平面の方程式は
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