テーラー級数、マクローリン級数を使って

テーラー級数、マクローリン級数を使って

 

まずは、テーラー級数を用いる次の問題を。

 

問題１

　　

をx=1のまわりのテーラー級数に展開せよ。

これを利用して、log1.1を小数３桁まで正確に求めよ。

【解】

　　

したがって、テーラー級数は

　　

または、剰余項を用いて

　　

log1.1を小数点以下３桁まで求めるには剰余項を

　　

にすればよいので

　　

したがって、n=3にとればよい。

よって、

　　

で、誤差は

　　

（解答終）

 

電卓で自然対数log1.1を求めると

　　

したがって、小数点以下３桁まで正確に求められており、誤差の評価も概ね正しいことがわかる。

 

 

問題２　マクローリン展開の最初の４項を用いて次の微分方程式

　　

の近似値を求めよ。

【解】

　　

の両辺を順次xで微分すると、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題３　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

この微分方程式はn=2のベルヌーイ形の微分方程式。

だから、

　　

とおくと、

　　

よって、

（解答終）

 

グラフを見ると、問題２で求めた近似解は、−0.5≦x≦0.5の範囲で厳密解とよく一致していることがわかる。

なお、

　　

タグ：数値解析 微分積分