２重積分の計算法

２重積分の計算法

面積分や体積分の計算をするためには、重積分の計算法を知らないことにはどうにもならないので、重積分の復習をかねて計算の仕方を説明するにゃ。

最も単純なタイプは、有界な長方形領域K

　　

で定義された連続な関数f(x,y)に対する

　　

という重積分。

これは、

　　

と累次化して計算をする。

　　

と計算する場合、

　　

を真っ先に計算するのだけれど、この時、xは定数と考えてyについて積分する。そして、この積分の結果をxについて積分する。

こういうのは具体的な例で実際に計算したところを見たほうがわかりやすいので、次の問題を解いてみるにゃ。

例題１　K=[0,1]×[0,1]のとき

　　
の値を求めよ。

【解】

　　

あるいは、

　　

と計算する。

また、f(x,y)=φ(x)ψ(y)という風に、関数f(x,y)がxだけの関数φ(x)とyだけの関数ψ(y)の積であらわされるとき、

　　

が成立するので、f(x,y)=φ(x)ψ(y)という関数の場合はこれを使って計算しても良い。

例題２　K=[0,1]×[0,1]のとき

　　

の値を求めよ。

【解】
②を使うならば、

　　

①を使うならば、

　　

となる。

どっちの方法で計算してもいいにゃ。

例題２のようなタイプの積分の計算は②を使ったほうが計算は楽になるにゃ。

積分する領域Dが[a,b]×[c,d]のような長方形の領域でない場合があるにゃ。Dが長方形でないほうがむしろ一般的。

たとえば、Dが次のよう形で与えられているとする。

　　

こういう集合を縦線集合というけれど、この時は、次のように累次化して積分する。

　　

例題３　D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}であるとき

　　
の値を求めよ。

【解】

Dが横線集合

　　

で与えられている場合は、

　　

と計算する。

例題４　D={(x,y)|0≦y≦1,y≦x≦1}のとき

　　
の値を求めよ。

【解】

　　

実は、例題３と例題４は同じ２重積分。違いは、積分する領域を縦線集合として計算するか、横線集合として計算するか、この違い。

例題３と例題４を見ればわかるけれど、どちらの集合で計算するかによって、計算量と計算の複雑さが変わってくる。

問題によっては、縦線集合、横線集合のいずれか一方でしか積分の値が求められないことがある。こういう場合は、縦線集合を横線集合に、横線集合を縦線集合に直して計算しなければならない。つまり、積分の順序を変えるということになる。

重積分も積分なので、次の公式が成り立つ。

　　

さらに、積分する領域DがD₁とD₂に分割できるとき

　　

が成り立つ。

だから、例題１は

　　

そして、②から

　　

よって、例題１の積分の値は、

　　

と計算することもできる。

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