ベクトル解析の番外編 方向余弦 [ネコ騙し数学]
ベクトル解析の番外編 方向余弦
原点を始点とし点Aを終点とするベクトルを考えるケロ。
さらに、とx軸、y軸、z軸とのなす角をα、β、γとする。
で、
を方向余弦と呼ぶ。
ちなみに、分母は線分OAの長さ。三平方の定理から
となる。
また、
となるので、方向余弦には
という関係がある。
ベクトルの大きさと方向余弦を使って
とあらわすことができる。
問題1 A(1,2,1)のとき、の方向余弦を求めよ。
【解】
よって、方向余弦は
になる。
問題2 点Aの位置ベクトルは、x軸とπ/4、y軸とπ/3、z軸とπ/6の角をなし、大きさは6である。Aの座標を求めよ。
【解】
これで終わるのはさすがに気が引けるにゃ。
ということで、ベクトルの3重積というものを少し話すにゃ。ベクトルの3重積というのは、たとえば、
a・(b×c)
やa×(b×c)
というもの。後ろのa×(b×c)はベクトル3重積と呼ばれる。a×(b×c)は結合法則、つまり、(a×b)×cは成り立たないケロよ。で、これは次のようになる。
a×(b×c)=b(a・c)−c(a・b)
これは理屈ではなく、ひたすら機械的に外積の計算をすると、こうなる。
そして、これを知っていると、ハミルトン演算子∇とあたかもベクトルのようにみなし、a=∇、b=∇とすると
∇×(∇×c)=∇(∇・c)−c(∇・∇)=∇(∇・c)−(∇・∇)c
というベクトルの公式を導けるのであった。また、a・(b×c)はスカラーになるのでスカラー3重積という。
これは
になるという話はした。
で、特にこれを[abc]といったふうに書くことがある。これをグラスマンの記号という。
行列式の勉強をすると分かるのだけれど、[abc]=[bca]=[cab]という関係があるのであった。
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