第２５回 面積分の計算

第２５回　面積分の計算

簡単な問題を実際に解くことによって、面積分の計算の仕方を説明するにゃ。

問題１　平面2x+2y+z=2が座標軸と交わる３点A、B、Cを結ぶ線分で囲まれた三角形をSとするとき、

f=x²+2y+z–1のS上の面積分を求めよ。

【解】

曲面の方程式がz=z(x,y)で与えられるとき、

f(x,y,z)のS上の面積分は

　　

で与えられる。

平面の方程式は2x+2y+z=2だからz=2–2x–2y。
　　

となり、dS=3dxdy。
また、S上では

　　

なので、

　　

となる。

ここで、Dは曲面Sに対応するxy平面上の領域で

D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1–x}


問題２　曲面Sは問題１と同じで、原点はその負側にあるとする。ベクトル関数A=yi+zjのS上の面積分を求めよ。

【解】
（解法１）

S上の点の位置ベクトルをr=(x,y,z)とすると、AのS上の面積分

　　

で与えられる。

平面の方程式は2x+2y+z=2だからz=2–2x–2y。だから、曲面S上ではr=(x,y,–2x–2y)となり、

　　

で、S上では
　　

となる。

よって、

　　

で、
　　

よって、

　　

最後の積分は、真面目に展開して計算してもよし、t=1–xとおいて置換積分

　　

を使ってもいいにゃ。

（解法２）

φ=2x+2y+z=2とする。

　　

これはφの法線ベクトル。

　　

だから、

　　

だから、

　　

となる。

S上では

　　

問題１より、dS=3dxdy。

　　

後の計算は、解法１と同じ。

問題３

　　

を求めよ。だたしSはx²+y²+z²=a²のz≧0の部分で、nの方向は球面の内部から外部へ向かう方向とする。

【解】

ベクトル関数Aが

　　
の時、

　　

となる。

だから、問題の積分のベクトル関数は

　　

で、曲面Sはx²+y²+z²=a²、z≧0だから

　　

よって

　　

また、
　　

よって

　　

ここで、x=rcosθ、y=rsinθとおき、２重積分の変数変換をすると

　　

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