第４０回 クロネッカーのデルタ

第４０回　クロネッカーのデルタ

i、jがそれぞれ１、２、３の値をとるとき、９個の数を

　　

を定義したものをクロネッカーのデルタという。

つまり、

　　

である。
で、このクロネッカーのデルタを使うと

　　

になる。同様に、

　　

となる。

だから、

　　

になる。

また、同様に

　　

が成立する。

クロネッカーのδの表記法は

　　

もある。

ということで、問題だにゃ。

問題　直交軸の変換公式

　　

の係数に対して

　　

であることを証明せよ。

【解】

基本単位ベクトルe₁、e₂、e₃は互いに垂直で大きさが１なので

　　

だから、

　　

である。

で、x’¹、x’²、x’³に対するの成分（方向余弦）は

　　

だから

　　

となる。

よって、

　　

となる。

で、

　　

だから、

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終）

なお、

　　

はとても重要な性質です。

タグ：ベクトル解析

数学のソフトで微分積分の問題を解く

数学のソフトで微分積分の問題を解く

数学のお絵描きソフトを新たにゲットしたのを記念して、簡単な微分積分の問題を解いてみることにする。

問題

　　

（１）f(x)=0の解を求めよ。

（２）f(x)の導関数f'(x)を求めよ。

（３）x=−2におけるf(x)の接線を求めよ。

（４）y=f(x)の概形をかけ。

（５）x軸とy=f(x)の囲む領域の面積を求めよ。

（６）f(x)とf'(x)の囲む領域（黄色の部分）の面積を求めよ。

この答は、すべて、ネムネコが持っている数学計算用のソフトで求めることができるんだケロよ。

【解】

（１）　f(x)=x³−3x−2=(x+1)²(x−2)=0

　　　∴ x=−1,2

（２）　f'(x)=3x²−3

（３）　x=aの接線の方程式は

　　

になるので、

　　

（４）　極値をもつためにはf'(x)=0にならないといけない。だから、f'(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)=0。

で、増減表を書くと

x	…	-1	…	1	…
f'(x)	+	0	−	0	+
y=f(x)	増加	極大 0	減少	極小 -4	増加

ということで、概形は次のようになる。

接線と導関数も合わせて書いてあるにゃ。

（４）

　　

x軸とy=f(x)の上下関係はx軸が上でy=f(x)が下なので−が必要だケロ。

（５）　f(x)とf'(x)の交点を求める。

　　

ということで、求める面積は

　　

最後の計算は、数学計算のとあるソフトを使って6√3−9を求めており、ネムネコは、この部分だけは、計算しておりません。

こうした問題は、数学計算用のソフトで簡単に解けてしまう。便利な時代になったよね、ホント。

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