関数の連続の問題Part２

関数の連続の問題Part２

問題１　[0,1]上の関数f

　　

は、[0,1]の全ての点で不連続であることを示せ。

【証明】

a∈[0,1]とする。

aが有理数のとき、｜x−a｜<δとなる正数δ>0にどのような小さい値をとっても、この近傍内に無理数がある。この近傍内の無理数xを一つ取り出すと

　　

よって、有理数の点では不連続。

aが無理数のとき、aの近傍内の有理数xを１つ取り出すと

　　

となるので、無理数の点でも不連続。

したがって、fは[0,1]の全ての点で不連続である。

（証明終）

関数の連続の定義は

　　

だから、関数の不連続の定義は、上の定義を否定すればよい。

　　

これをヒトの言葉に翻訳すると、

ある正数ε>0があって、任意の正数δ>0に対して、「｜x−a｜<δ」で「｜f(x)−f(a)｜≧ε」であるxが（少なくとも１つ）存在する

くらいか。

上の問題１の解答の場合、任意の正数δ>0に対して、ε=1という正数εがあるので、関数fは点aで不連続ということになる。

うるさいことを言うと、a=0のとき、aの近傍を0≦x<δ、a=1の近傍を1−δ<x≦1とするなどと明言しないといけないのだろうが、このあたりは了解事項ということで省略した。

問題２　fは[0,1]上の関数で、f(0)=1、

　　

である。

このとき、fはxが無理数の点で連続、xが有理数の点で不連続であることを証明せよ。

【証明】

有理数c=p/qの点の近くには、無理数xが存在し、

　　

だから、fは有理点cで連続でない。

つぎに、cが無理数の場合を考える。

任意の正数ε>0に対して

　　

となる自然数nが存在する。

このnを固定し、

　　

とすると、この集合の要素（元）は有限個、つまり、有限集合。

このと点cとの最短距離をδとする。

数学の記号が好きなヒトは

　　

などと書く。

｜x−c｜<δ/2のとき、

xが無理数の場合

　　

xが有理数の場合、x=p/qとすると、だからq>n。

よって、

　　

となり、無理数の点cで連続である。

（証明終）

たとえば、ε=1/3のとき、n=4とすると、

　　

である。

　　

となる。

たとえば、無理数の点x=1/√2の場合、xと集合E₃の最短距離はx=2/3のときで、最短距離δは

　　

1/√2≒0.7071だから、たとえば、q=10、p=7とすると、

　　

となるので、ｑ>nのqの値として10をえらび、p=7とすると

　　

となり、条件を満たしている。

これはあくまで一例に過ぎず、q=1000、p=707としてもよい。

このときは、

　　

となる。

自然数に最大数はないから、どんな小さなεに対しても

　　

となる自然数nが存在し、このnに対する集合をつくり、無理数の点cとの最短距離δを求めて同様の操作を施せば、

　　

にすることができる。

 

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