関数の振幅

関数の振幅

定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
　　

をf(x)のI上の振幅（振動量）という。

区間I上の関数f(x)がある実数Mがあり、すべてのx∈Iに対して

　　

であるとき、関数f(x)は有界であるという。

論理記号で書くと、

　　

ちなみに、有界でない関数は、（２）の否定をとると、

　　

となるので、任意の実数Mに対して、

　　

となるx∈Iが存在する関数のことである。

有界な関数の例としては、たとえば、I=[0、1]で定義されたf(x)=x²。このとき、0≦f(x)≦1だから有界である。

一方、有界でない関数の例としては、たとえば、I=(0,1]で定義されたf(x)=1/x。この関数の値域は1≦f(x)<∞だから、有界ではない。

現に、どのような実数M≧1を与えても

　　

となるので、この有界でないことを定義にそって証明することができる。

例１　I=[0,1]、f(x)=x²とすると、

　　

だから、f(x)のI上の振幅ω(f,I)は

　　

例２　I=[−π,π]、f(x)=sin とすると。

　　

例３　I=[−1,1]、

　　

とすると、

−1≦x<0のとき

　　

x=0のときf(x)=0

0≦x≦1のとき
　　

だから、