２次精度のルンゲ＝クッタ法

２次精度のルンゲ＝クッタ法

α、βを適当に選ぶと、所定の誤差の範囲で、における定積分を

　　

と近似できるものとする。

微分方程式は

　　

よって、

　　

ところで、を点でテーラー展開し、h²で打ち切ると

　　

また、

　　

だから

　　

よって、

　　

一方、同じくテーラー展開し、１次で打ち切ると

　　

（２）と（３）を（１）に代入すると、

　　

だから、

　　

以上のことまとめると、

　　

これが２次精度のルンゲ＝クッタ法と呼ばれるものであり、その導出の流れるになる。

これをコンピュータや手計算で近似計算する場合、次のようにすればよい。

２次精度のルンゲ＝クッタ法

　　

修正オイラー法は

　　

２次精度のルンゲ＝クッタ法と修正オイラー法を用いて次の微分方程式を数値的に解いた結果は次の通り

　　
この結果から、２次精度のルンゲ＝クッタ法と修正オイラー法の精度が同程度であることが理解できると思う。

タグ：微分積分 数値解析