数値積分 台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差

数値積分　台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差

次の定積分を考える。

　　

これは、x=t+aと変数の変換を行えば、dx=dtでかつ、x=aにはt=0、x=a+hにはt=hが対応するので、

　　

になる。

関数f(x)が何度でも微分可能、つまり、級であるとき、f(a+t)は次のようにテーラー展開することが可能。

　　

あるいは、

　　

（２）を（１）に代入すると

　　

総和記号Σの中は
　　

したがって、

　　

ここで、

　　

と前進差分を使うと、
　　

a+h=bと置けば

　　

したがって、

　　

と、それを台形で近似した

　　

との誤差は程度ということになる。

そして、この結果を用いて、

　　

という台形公式の誤差の限界公式を導くことができる。

より厳密な議論は、たとえば、ねこ騙し数学の次などを見て欲しい。

台形公式の精度を求める問題

積分区間[a,a+h]の中点をcとし、x=t+cという変換をすると、dx=dtで、x=aにはt=−h/2、x=a+hにはt=h/2が対応するので、

　　

f(c+t)をテーラー展開すると

　　

（４）に（５）を代入すると、nが奇数のとき

　　

nが偶数のとき

　　

になるので、
　　

になる。

a+h=bとおくと、

　　

だから、

　　

そして、

　　

と近似する方法を中点公式と呼ばれる。

上の議論から、中点公式の誤差は

　　

程度で、誤差のオーダーはh³である。

[a,b]でf(x)>0のとき,

　　

は長方形DEFGの面積。

また、

　　

として、（６）式に代入すると、

　　

これから、シンプソンの公式の誤差が

　　

程度で、シンプソンの公式の誤差がh⁵のオーダーであることが分かる。

シンプソンの公式は

　　

で、（８）式と

　　

とでは、右辺の分母が3と6と異なっているが、これは（８）式ではb−a=2hとしているのに対して、（９）式ではb−a=hとしていることに由来する。

（９）式の形で（８）式を書きなおすとき、hを2hに変えれば良いので、次のようになる。

　　

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