第７回 無限級数４

第７回　無限級数４

問題　次の和を求めよ。

　　

【解】

x=1のとき

　　

x≠1のとき、

　　

①にxを掛けると

　　

よって、①−②は
　　

（解答終了）

上で求めた

　　

は、｜x｜<1のとき

　　

になるのだが、このためには、｜x｜<1のとき

　　

を証明する必要がある。

この証明は、例えば、次のようにすればよい。

【証明】

x=0のとき、③は明らか。

0<｜x｜<1のとき

　　

とするαが存在する。

したがって、

　　

したがって、

　　

そして、

　　

だから、0<|x|<1のとき

　　

（証明終わり）

このことから、

　　

問題２

（１）　a>0のとき、

　　

であることを証明せよ。

（２）　無限級数

　　

を求めよ。

【解】

（１）　n≧2のとき

　　

（２）

　　

とする。

②に1/2を掛けると

　　

①−②は
　　

a=1を（１）の結果に代入すると、

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

問題３　無限数列がを満たすとき、次の問いに答えよ。

（１）　一般項を求めよ。

（２）　次の無限級数の和を求めよ。

　　

【解】

（１）
　　

①はn=1のときにも成り立つので、

　　

（２）

　　

（解答終了）

タグ：数列 級数 極限