第５回 独立試行と二項分布

第５回　独立試行と二項分布

§１　独立試行の確率

１回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率は

　　

である。

 

問１　袋の中に赤球１個、白球４個が入っている。この中から１個取り出して、もとに戻すことを３回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。

この問題の場合n=3。

Xの取りうる値は0、1、2、3。

X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、
　　

したがって、確率分布は次のようになる。

　　

（解答終了）

この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mは

　　

である。

§２　２項分布

変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が

　　

で与えられる確率分布を２項分布という。

その平均・期待値m、標準偏差σは

　　

である。

（２）、（３）を使えば、問１の平均値、標準偏差は

　　

と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。

 

【（２）の証明】

　　

２項定理より

　　

xで微分すると、
　　

x=1を代入すると、

　　

p+q=1だから

　　

（証明終わり）

【（３）の証明】

　　

また、

　　

よって、
　　

ここで、①の両辺をxで微分すると、

　　

x=1を上式に代入すると、

　　

これを②に代入すると、

　　

（証明終わり）

問２　１０％の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に４個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。

【解】

X=rである確率は

　　

したがって、確率分布表は

　　

したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6

（解答終了）

問題　１回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。

【解】

r=kのとき、確率が最大になるとすると、

　　

したがって、

　　

そこで、①より
　　

②に対しては、③のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、

　　

③と④より、

　　

を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。

（解答終了）

問３　１個のさいころを４０回投げるとき、１つの目が何回出る確率が最も高いか。

【解】

n=40、p=1/6。

（４）より
　　

よって、６回のとき確率は最大になる。

（解答終了）

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