第９回 正規分布１

第９回　正規分布１

§１　正規分布

１個のサイコロをn回振って、１の目が出る回数をXとすると、Xは２項分布に従う。

nをn=10,20,30,40,50と変化させ、１の目のr回出る確率

　　

を計算した結果を下図に示す。

nが大きくなるにつれて、折れ線グラフが次第に平均を中心とする左右対称な正規分布曲線

　　

に近づいてゆく（ラプラスの定理、中心極限定理）。

正規分布

　　

を確率密度関数とする確率分布を正規分布という。

ここで、mは平均値、σは標準偏差、σ²は分散で、この分布をであらわす。

特に、m=0、σ=1のとき、N(0,1)を標準正規分布という。

標準正規分布の確率密度関数は
　　

である。

　　

とおくと、

　　

であり、このI(λ)を確率積分という。

λの種々の値に対するI(λ)の値の表（正規分布表）の概略表を右に示す。

この表によると

　　

したがって変量Xの値が

　　m−σとm+σの値にある確率は約0.6826

　　m−2σとm+2σの値にある確率は約0.9544

　　m−3σとm+3σの値にある確率は約0.9974

である。

§２　正規分布の性質

確率変数Xが正規分布に従うとき、正規分布には次の性質がある。

　　　　

また、

（４）　Xが区間[a,b]に入る確率は

　　

である。

問　N(10,4)においてを求めよ。

【考え方】

この計算をするためには、正規分布N(10,4)を標準正規分布に変換して計算をしなければならない。

そこで、

　　

とおく。

このようにおくと

　　

たとえば、Xが区間[a,b]に入る確率を求める場合、x=aは、x=bはに対応するので、

　　

となり、正規分布表を利用することができる。

【解】

正規分布N(10,4)だから、平均値m=10、分散σ²=4だから、標準偏差σ=2。

　　

とおくと、は

　　

（解答終了）

求めるのは、下図の斜線部であることに注意！！

表計算ソフトを使って答えを求めるならば、たとえば、次のようにすればよい。

関数NORMDISTの書式は、たとえば、

　　NORMDIST（数値、平均、標準偏差)

である。

この問題の場合、

　　NORMDIST（13、10、2)

となる。

便利な時代になったものである。

正規分布表の使い方、見方がどうしてもわからない人は、表計算ソフトのNORMDIST関数を使ってもよい。

余談になるが、お馴染みの偏差値は

　　

だから、X=13の偏差値は

　　

となり、正規分布に従っているならば、上位約７％に入っていることになる。

偏差値７０は約上位５％で、偏差値８０は約0.1％である。

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