第１１回 正規分布３

第１１回　正規分布３

独立試行の確率

　　

にしたがう二項分布B(n,p)の平均m、標準偏差σは

　　

である。

したがって、nが大きいとき、二項分布B(n,p)は、平均np、標準偏差の正規分布と近似することができる（右図参照）。

問１　１個のさいころを４８０回振るとき、１の目が出る回数が７５回以上、９０回以下である確率を求めよ。

【解】

１の目が出る回数をXとすると、Xは二項分布にしたがう。

よって、平均値m、標準偏差σは

　　

n=480とnは大きいので、二項分布は正規分布とみなすことができる。

　　

とおくと、Zは標準正規分布N(0,1)にしたがう。

　　

したがって、求める確率は

　　

（解答終了）

問２　次の問いに答えよ。

（１）　中学１年生のツベルクリン反応陰性者の比率は１３％であるという。中学１年生から無作為に３００人を抽出して調べたとき、その中に３０人以上５０人以下の陰性者のいる確率を求めよ。

（２）　ある伝染病の死亡率は２０％であるという。１００人の患者のうちに３０人以上の死亡者の出る確率を求めよ。

【解】

（１）　陰性患者の数をXとし、Xは二項分布B(300,0.13)にしたがうものと考えると、

　　

nが大きいとき、B(300,0.13)は正規分布N(39,5.8²)とみなすことができる。

　　

とおくと、これは標準正規分布N(0,1)にしたがう。

　　

よって、

　　

したがって、約９１％

（２）　伝染病の死亡者数をXとし、Xは二項分布B(100,0.2)にしたがうものと考えると、

　　

nが大きいとき、二項分布B(100,0.2)は正規分布N(20,4²)とみなせる。

そこで、

　　

とすると、Zは標準正規分布B(0,1)にしたがう。

　　

よって

　　

（解答終了）

ちなみに、二項分布B(100,0.2)と正規分布N(20,4²)は以下の通り。

両者がよく一致していることがわかると思う。

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