極限計算の補足説明２

極限計算の補足説明２

これまでに何度も証明しているけれど、前回の「無限大、無限小の問題」中に出ていた次の極限を

　　

証明することにする。

 

【証明１】

　　

とする。

　　

だから、f(x)は0<x<1で減少、x>1で増加し、x=1で極小。

よって、

　　

x>1とすると

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終了）

 

【証明２】

t=logxとおくと、x→∞のときt→∞だから

　　

（証明終了）

 

が既知でないというのであれば、マクローリンの定理より

　　

したがって、

　　

x>0のとき

　　

よって、

　　

また、mが正の整数、x>0のとき

　　

だから、

　　

 

また、

　　

は、t=1/xとおくと、x→0+0のときt→+∞だから

　　

である。

タグ：極限 微分積分

無限大、無限小の極限計算の補足

無限大、無限小の極限計算の補足

先に

　　

と書いた。

しかし、（２）のsinxの場合、偶数次の項が出てこなず、（３）のcosxの場合、奇数次の項が出てこないので、
を強めて、とすることができる。

このように考えると、
　　

となる。

例えば、（２）に従えば

　　

（２’）に従えば

　　

となる。

次の極限を①、②を使って求めてみることにする。

　　

①を使うならば

　　

②を使うならば

　　

と計算することになり、当然、この極限値は一致する。
ここで、
　　
である。

また、②式を使うならば、

　　

という極限を、次のように求めることができる。

　　

右ののグラフを見ると、

　　

でもあることがわかると思う。

また、

　　

である。

このことは、下の図を見るとわかると思う。

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