第１４回 推定の問題

第１４回　推定の問題

（１）　母平均の推定

任意に抜き取ったn個の標本平均を、標準偏差をsとすると、母平均mは、

９５％の確率で

　　

９９％の確率で

　　

である。

（２）　母比率（母集団の比率）の推定

母集団の比率をp、標本の大きさをn、比率をとすると、９５％の信頼度で

　　

である。

問題１　ある工場の電球の寿命の標準偏差が１００時間であることが知られている。２５個の電球の平均寿命が１８００時間のとき、次の問いに答えよ。

（１）　母集団の電球の平均寿命を９５％の信頼度で推定せよ。

（２）　母集団の電球の平均寿命が９９％の信頼度で推定しようとすると信頼区間の幅を信頼度９５％と同程度におさえるためには、何個以上の電球の平均寿命を求めなければならないか。

【解】

（１）　だから、

　　

（２）　求める個数をn個とすると、９９％の信頼区間は

　　

である。

したがって、

　　

よって、４４個以上。

（解答終了）

問題２　ある県の高校入試の数学の成績は、予備調査の結果から標準偏差１９点と予想されている。この予想を正しいものとし、母平均の信頼度を９５％で推定するとき、次の問いに答えよ。

（１）　任意抽出した１００人の平均点をとするとき、母平均mをとしたときの誤差はおよそどれくらいか。

（２）　誤差を２点以内とするには、抽出する標本の大きさnをどれくらいにしたらよいか。

【解】

（１）　９５％の確率で

　　

したがって、2.94点

（２）

　　

したがって、２１７人以上。

（解答終了）

問題３　平均m、分散４の正規母集団から大きさnの任意標本を抽出して、その標本平均をmとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　n=100、のとき、信頼度９５％でmの信頼区間をと求めよ。

（２） となる確率が９５％以上にあるようにしたい。nをどのようにすればよいか。

【解】

（１）　分散が４だから、標準偏差s=√4=2。

したがって、

　　

（２）

　　

s=2だから

　　

よって、nを６２以上にすればよい。

（解答終了）

問題４　ある金属の棒の長さを１０回測定して次の結果を得た（単位ｃｍ）。
24.3,24.4, 23.9, 24.5, 24.0, 24.2, 24.1, 24.4, 24.0, 24.2

９５％の信頼度で棒の真の長さを推定せよ。

【解】

棒の真の長さは、棒の長さを非常に多い回数で測定した値の平均値mと考える。

右の表から

　　

よって、

　　

したがって、24.2±0.12(cm)

（解答終了）

標準偏差sを求めるのに、公式

　　

を使った。

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