ロピタルの定理（？）の怪

ロピタルの定理（？）の怪

 

ロピタルの定理は、高校の教科書では紹介されていないようだが、受験参考書や教科書傍用の問題集、受験問題集などに紹介されている有名な定理だ。そして、「ロピタルの定理を用いて次の極限を求めよ」といった問題が掲載されていたりする。

 

問題１　ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めよ。

 

だから、ロピタルの定理は、理系の大学受験生ならば誰もが知っている有名な定理といっていいだろう。

と同時に、

「関数の極限を求めるのに試験でロピタルの定理を使うと減点される」など、、噂、都市伝説に事欠かないのがロピタルの定理だ。

大学入試の数学の試験で答案が受験者に返されることはないし、これは大学の数学の試験においても同様だろう。
なのに、何故、「関数の極限を求めるのに試験でロピタルの定理を使うと減点される」といった都市伝説が今も昔も受験生の間で囁かれ続けているのだろうか。
答案は返却されないのに、「どうして、ロピタルの定理を使って減点された」と判断できるのだろう。不思議でたまらない。
「模試や高校の定期試験でロピタルの定理を使ったら減点された。だから大学入試の数学の試験でも同様なのだろう」と類推して、このようなことを言っているのであろうか。

 

いま仮に次のものをロピタルの定理（？）と呼ぶことにしよう。

 

ロピタルの定理（？）

f(x)、g(x)が微分可能、f(a)=g(a)=0のとき、

である。

 

このロピタルの定理（？）を使えば、問題１を次のように解くことができるだろう。

［問題１の解答］

f(x)= x–sinx、g(x)=x³とおくと、f(x)、g(x)は微分可能で、f(0)=g(0)=0。

したがって、ロピタルの定理（？）より

　　

さらに、f'(x)=1– cosx、g(x)=3x²は微分可能で、f'(0)=g'(0)=0。

したがって、

　　

 ［解答終］

最後に使った、有名な三角関数の極限の公式でさえ、ロピタルの定理を使えば

　　

と簡単に証明（？）できる。

つまり、問題１は、ロピタルの定理を最高３回使えば、極限値を求めることができる。

 

たまに、大学入試で「を証明せよ」という問題が出されて受験生を悩ませるそうだから――この証明は教科書に出ているのだが、受験生は意外に証明できないらしい――、ロピタルの定理は、大学受験生にとって何とも心強い味方である。

 

本題は、ここから。

私が高校生だった頃、とある問題集の解説記事で次のようなロピタルの定理の証明（？）を見たことがある。その証明の詳細は憶えていないが、証明は次のようなものだったように記憶している。

［ロピタルの定理（？）の証明（？）］

x≠aのとき

　　

だから、

　　

（証明終）

 

この証明が正しければ、この証明は何とも鮮やかな証明なのだろう。

ロピタルの定理の証明には、次のコーシーの平均値の定理

コーシーの平均値の定理

f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能で、かつ、(a,b)でg'(x)≠0ならば

　　

であるcが少なくとも１つ存在する。

が必要とされるが、上のロピタルの定理（？）の証明（？）ではこの定理をを使っていないのだから。

 

では、ここで質問！！

上に示すロピタルの定理（？）の証明（？）のどこに問題点があるでしょうか。

答えられますでしょうか？

これを答えられるヒトは意外に少ないのかもしれない(^^ゞ

問題２

　　

とするとき、

　　

が存在すれば、その値を求めよ。

［解答（？）］

　　

g(x)=xとすると、f(x)、g(x)は微分可能でかつf(0)=g(0)=0。

よって、ロピタルの定理（？）より

　　

xとして

　　

をとり、nの値を増やしてxを０に近づけると、は

　　

となり、これはx=0の近くで激しく振動するのでは存在しない。

したがって、は存在しない。

［解答（？）終］

しかし、x≠0のとき

　　

だから、

　　

x→0のとき｜x｜→0だから、ハサミ打ちの定理より

　　

となり、

　　

である。

これはどうしたことか？

いったい、ロピタルの定理（？）を用いた、上の解答（？）のどこがおかしいのだろう。

 

この疑問に答えられないヒトは、時に身の破滅をもたらすことがあるかもしれないので、ロピタルの定理を使わないほうがいいのかもしれないですね。