一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数

関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。

　　

このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。

 

x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。

 

x≠0とする。

xが有理数のとき

　　

xが無理数のとき

　　

いずれにせよ、

　　

よって、

　　

x=0でf(x)は微分可能なのだから、f(x)はx=0で連続である。

 

ε-δ論法がよければ、（１）のところを次のようにすればいいだろう。

 

任意の正数ε>0に対してδ=ε>0にとれば、

　　

 

x=0以外で連続でないことを証明するのは、例えば、次のようにすればいいだろう。

a≠0とする。

　　

とすると、どんなδ>0をとっても

　　

であるxが存在する（下図参照）。

何故ならば、δ>0をどんなに小さくしても、aが有理数、xが無理数のとき、

　　

であり、aが無理数、xが有理数のとき

　　

となり、（２）を成立させるxが｜x–a ｜<δに存在するからである。

よって、a=0以外の全ての点でf(x)は連続ではなく、微分不可能である。

 

（※）

「関数f(x)が点aで連続である」のより正確な定義は、

　　

したがって、点aで連続でないは、（２）を否定した

　　

である。

 

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