第１６回 ヤコビアン

第１６回　ヤコビアン

 

u=φ(x,y)、v=ψ(x,y)がC¹級であるとき、

　　

をヤコビ行列といい、次の行列式

　　

をヤコビアンという。

 

 

問題１　次のヤコビアンを求めよ。

【解】

（１）　だから

　　

 

（２）　だから

　　

 

（３）　だから

　　

（解答終）

 

問題２

（１）　、のとき、

　　

が成り立つことを示せ。

 

（２）　が逆に解けて、であるとき、

　　

であることを示せ。

 

（３）　平面座標の座標変換のヤコビアンとを求めよ。

【解】

（１）　合成関数の微分公式（連鎖律）から

　　

 

（２）　（１）でs=u、t=vになっている場合だから

　　

 

（３）　だから、

　　

（２）より

　　

（解答終）

 

問題２の（３）は

　　

を逆に

　　

と解くことができ、

　　

となるので、直接

　　

と解くこともできる。

 

 

問題３　をC¹級の写像とする。

fがC¹級の逆写像をもつとき、

　　

であることを示し、これより

　　

であることを証明せよ。

【解】

をu、vで偏微分すると、

　　

同様に、をu、vで偏微分すると、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

タグ：偏微分 微分 微分積分