ベクトルの内積、外積 [ネコ騙し数学]
ベクトルの内積、外積
§1 ベクトルの内積(ベクトルのスカラー積)
をaとbの内積といい、記号a・bや(a,b)などであらわす。すなわち、
である。
内積はスカラーで、bのaへの正射影を、aのbへの正射影をとすれば、
である。
a、bがともに零ベクトルでないとき、(1)式より、内積はθが鋭角ならば正、直角ならば0、鈍角ならば負である。また、a、bのいずれかが零ベクトル0であるとき、内積は0である。
ベクトルの内積に関しては、交換、結合法則が成り立つ。すなわち、
mをスカラーとすると、さらに、
が成り立つ。
先に述べたように、ベクトルaとベクトルbのなす角θが直角のときa・b=0である。
逆にa・b=0のとき、
(ⅰ) aとbのなす角θが直角
(ⅱ) a=0またはb=0
である。
特に、基本ベクトルi、j、kに対しては
である。
したがって、
ベクトルa、ベクトルbの成分を(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすれば、内積a・bは
で、aとbのなす角の余弦は、(1)、(2)式より
問1 a=2i–3j+5k、b =–2i–2j+2kが垂直であることを示せ。
【解】
よって、垂直である。
(解答終)
問2 a=2i–3j+kとb=3i–j–2kのなす角を求めよ。
【解】
(解答終)
問3 a=2i–3j+kのb=3j–4k上への正射影を求めよ。
【解】
aのb上への正射影は
である。
よって、
(解答終)
§2 ベクトルの外積(ベクトルのベクトル積)
平行でない2つのベクトルa、bを隣り合う2辺とする平行四辺形をもとに
(1) 大きさは、この平行四辺形の面積に等しい
(2) 向きは、この平行四辺形のある平面に垂直で、aからbへ右ネジをまわすときネジの進む方向と同じ
であるベクトルを作る。
このようにaとbから作ったベクトルをaとbの外積、または、ベクトル積といい、記号a×bであらわす。
aとbのなす角をθとすると、外積の大きさは
である。
aとbが平行のとき、およびaまたはbが零ベクトルであるとき、
と定義する。
a×b≠0のとき、a×bはb×aと大きさが等しく向きが反対だから
すなわち、ベクトルの外積は交換法則が成立しない。
しかし、分配法則は成り立ち、
さらに、
i、j、kを基本ベクトルとすると、
ベクトルaとベクトルbの成分をそれぞれ(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすると、外積は、分配法則が成り立つので、
これを行列式で書くと
である。