第１８回 陰関数の種々の計算問題 [ネコ騙し数学]
第１８回 陰関数の種々の計算問題
問題１ 次の関係式が定めるxの関数yの第１次導関数、第２次導関数を求めよ。
【解】
（１） x²+y²=1の両辺をxで微分すると、
y≠0のとき
（２） 
の両辺をxで微分すると、
のとき、つまり、x+y≠0のとき、
（解答終）
問題２ 曲線x²+xy+y²=3の点(1,1)における接線を求めよ。
【解】
x²+xy+y²=3の両辺をxで微分すると、
よって、x+2y≠0ならば、
(x,y)=(1,1)を代入すると、
したがって、接線の方程式は
（解答終）
f(x,y)をC¹級の関数とし、点(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点、そして、
または
であるとする。
いま仮にとすると、陰関数定理より、点x₀の近傍内にある曲線の部分は、f(x,y)=0で定まるただ１つの陰関数y=φ(x)で表される。
このとき、
が成立するので、接線の方程式は
であり、曲線上の点(x₀,y₀)における曲線f(x,y)=0の接線はただ１本である。
この結果を用いるならば、問題２は次のように解くこともできる。
【別解】
f(x,y)=x²+xy+y²–3=0とすると、
f(x,y)の点(1,1)における偏微分係数
だから、曲線f(x,y)=0の曲線上の点(1,1)における接線の方程式は、（１）より、
（別解終）
問題３ 次の関係式で定められる陰関数yの極値を求めよ。
【解】
x²–xy+y²=3の両辺をxで微分すると、
よって、y'=0になるのはy=2xのとき。
これをx²–xy+y²=3に代入すると、
よって、yの陰関数の極値になる点は(x,y)=(1,2)、(−1,−2)。
極値の判定をするために、①の両辺をxで微分すると、
極値を取る点ではy'=0だから、
したがって、
(x,y)=(1,2)のときy''=−2/3<0となり、このとき極大、
(x,y)=(−1,−2)のとき、y''=2/3>0となり、このとき極小。
以上のことより、x=1のときyは極大で極大値は2、x=−1のときyは極小で極小値は−2である。
（解答終）
【別解】
xに関する２次方程式x²–yx+y²–3=0のxの解は実数でなければならないから、２次方程式の判別式をDとすると、
でなければならない。
y=−2のとき
y=2のとき
よって、
x=−1のときyは極小で極小値は−2。
x=1のときyは極大で極大値は2。
（別解終了）
２次方程式の判別式を使わず、その元となる平方完成を用いると、
【別解２】
よって、
x=−1のときyは極小で極小値は−2。
x=1のときyは極大で極大値は2。
（別解終了）
