第２１回 平面曲線

第２１回　平面曲線

 

§１　通常点と特異点

 

関数f(x,y)をC¹級の関数とし、(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点とする。とが同時に0にならないとき(x₀,y₀)を通常点（正則点）といい、となるとき特異点という。

(x₀,y₀)が通常点のとき、ならばx₀の近傍内にある曲線の一部はy=φ(x)、ならばx=φ(x)で表される。通常点(x₀,y₀)では接線がただ１つ存在し、その方程式は

　　

である。

 

例１　f(x,y)=x²+y²–a²= 0（a>0）とすると。
したがって、になるのは(x₀,y₀)=(0,0)であるが、(0,0)は曲線上の点ではないので、曲線f(x,y)=x²+y²–1= 0は特異点を持たず、通常点のみである。

また、曲線（原点を中心とする半径aの円）上の点(x₀,y₀)における接線の方程式は

　　

 

例２　f(x,y)=y³–x⁴=0とすると、。したがって、(0,0)は特異点。

この曲線は と同一の曲線なので、

　　

となり、φ'(0)=0で、この曲線はx=0でx軸と接している。

 

 

例３　f(x,y)=y²–2x²y+x⁴–x⁵= 0とすると、

　　

したがって、(0,0)は特異点である。

y²–2x²y+x⁴–x⁵= 0をyについて解くと、になるので、

　　

したがって、x=0での微分係数は0となり、この曲線はx軸に接している。

この曲線の特異点(0,0)のような特異点を嘴点と呼ぶ
。

 

§２　特異点の分類

 

f(x,y)をC²級の関数とし、(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0の特異点とする。が同時に０にならないとき、(x₀,y₀)を２重点という。

　　

とおくと、２重点は次のように分類できる。

　（１）　D>0ならば結節点で、(x₀,y₀)で相異なる２本の接線が引ける

　（２）　D=0ならば通常は尖点で、(x₀,y₀)における接線は１本である。

　（３）　D<0ならば孤立点で、その近傍内にある曲線の部分は(x₀,y₀)だけである。

 

例２、例３の特異点は、D=0になるので、尖点である。

 

問題　曲線y²=x²(x+a)の特異点を調べよ。

【解】

f(x,y)=y²–x²(x+a)とおくと、

　　

を解くと、

　　

になる。

a≠0のとき

　　

したがって、特異点は(0,0)のみである。

特異点の判別をするために、f(x,y)の２次偏導関数を求めると、

　　

したがって、

　　

だから、

a>0のときは結節点、

a=0のときは尖点、

a<0のときは孤立点

（解答終了）

 

参考までに、a=3、a=−3のときの、曲線y²=x²(x+a)の概形を以下に示す。

 

 

 

 

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ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックス

 

問題

　　

は集合でないことを示せ。

【解】

を集合と仮定する。

A∈Aとすると、A∉Aになって矛盾する。

A∉Aでないとすると、集合の条件A∉Aをみたすので、A∈Aとなって矛盾する。

つまり、

　

だケロ。

これは、を集合と仮定したから、このような矛盾が生じた。

したがって、

は集合ではない。

（解答終）

 

を集合と認めると、ラッセルのパラドックスになってしまう。
このパラドックス回避のためには、こんなものを集合と認めちゃ〜いけねえ。認めなければ、パラドックスにはならない。

つ・ま・り、

　何でもかんでも、ものの集まりを集合としちゃ〜いけねぇ

というわけ。