３次関数と変曲点

３次関数と変曲点

問題１　f(x)=x³+3x²−4x−6とするとき、関数y=f(x−a)+bのグラフの変曲点が原点に一致するようにa、bの値を定めよ。

【解】

 　　

f''(x)=0となる点を求めるとx=−1。そして、この前後でf''(x)の符号が負から正に変わるので、(−1,0)は変曲点。

(−1,0)を原点(0,0)と一致させるためには、x軸の正の方向に1だけ移動させれば良いので、a=1、b=0である。

（解答終了）

f(x)=x³+3x²−4x−6をx軸の正方向に1平行移動させた関数をg(x)とすると、

　　

になる。

そして、g(x)は

　　

になるので、g(x)は奇関数、つまり、原点に関して対称である。

　　

だから、O=(0,0)はこの関数の変曲点である。

y=f(x)の変曲点が原点になるように変換、平行移動したのだから、これは当たり前。

そして、このことから、y=f(x)がその変曲点(−1,0)に関して対称であることが分かる。

さて、このことが一般の３次関数y=f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0）について言えるのか、つまり、３次関数は変曲点に関して対称なのか、このことを確かめたい。

問題２　３次関数y=f(x)のグラフはただ１つの変曲点をもち、その変曲点に関して対称であることを証明せよ。

【解】

　　

f''(x)=0を解くと

　　

であり、x=αの前後でf''(x)の符号が変化するからA(α,f(α))は変曲点である。

そして、この点以外でf''(x)の符号が変わることはないから、３次関数の変曲点はAただ一つである。

Aが原点に来るように座標軸を平行移動すると、新座標軸XAYに関して曲線の方程式は

　　

となる。

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

よって、曲線Y=F(X)は原点に関して対称。

したがって、y=f(x)は変曲点Aに関して対称である。

（証明終わり）

３次関数のグラフは変曲点に関して対称であることが証明された。

問題３　３次関数f(x)=x³+3ax²+3bx+cがx=αのとき極大、x=βのとき極小になるとき、

（１）　f(α)+f(β)をa、b、cであらわせ。

（２）　y=f(x)の極大になる点、極小になる点をそれぞれA、Bとすれば、線分ABの中点Mはこの曲線上にあることを証明せよ。

【解】

（１）

　　

α、βはf'(x)=0の解だから、２次方程式の解と係数の関係より

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（２）　A、Bの中点をM(p,q)とすると、

　　

f(−a)を計算すると、

　　

よって、A、Bの中点Mは曲線y=f(x)上にある。

（解答終了）

この関数の変曲点を求めると、

　　

より、変曲点のx座標はx=−aとなる。

つまり、変曲点は、上で求めた極大点Aと極小点Bの中点である。

 

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