ワンポイントゼミ１４ 物理的な思考法で解く

ワンポイントゼミ１４　物理的な思考法で解く

数学的な思考法ではなく、物理的な思考法で、等速円運動をする加速度の大きさを求めることにする。

原点を中心とする半径rの円周上を運動する動点があるとする。

図に示すように、

時刻tのとき、動点の位置が点P、時刻t+Δtのとき、点Qであり、P、Qにおける速度ベクトルを、さらに半径OPと半径OQのなす角度をΔθとする。

等速円運動なので、

　　

また、幾何学的な位置関係からとのなす角度はΔθ。

したがって、図に示すようなととが作る速度ベクトルの三角形は、頂角をΔθとする等辺の大きさがvである二等辺三角形になる。

　　

とすると、の大きさは

　　

Δθの大きさが十分に小さいとき、

　　

と近似できるので、①より

　　

したがって、加速度の大きさaは

　　

と近似される。

等速円運動なので、角速度ωは一定で

　　

②に代入すると

　　

微分積分を使わずに、等速円運動の加速度の大きさを求めることができた。

⑨で微分の知識を使っているのではないか？

△OPQの面積は

　　

であり、Δθが小さいとき

　　

と近似できることは図形的に明らかだから、

　　

⑨で微分は使っていない。

平面上を運動する点の速度、加速度

平面上を運動する点の速度、加速度

§１　速度ベクトル

平面上を運動する点Pの座標x、yが時刻tの関数として

　　

で与えられているとする。

点Pの時刻tにおける位置ベクトルを

　　

時刻t+Δtにおける位置ベクトルを

　　

とすると、
　　

Δt→0としたときの極限を、点Pの時刻tにおける速度、または、速度ベクトルといい、これをであらわすと、

　　

のx方向の成分、y方向の成分を、x軸方向の分速度、y軸方向の分速度といい、であらわす。すなわち、

　　

の大きさ

　　

を速さという。

とx軸のなす角をθとすると、

　　

であるから、の向きとと動点Pがえがく曲線の接線の向きとは一致する。

問　水平面とαのなす方向に初速度v₀(m/s)で投げあげた物体Pのt秒後の座標を(x,y)とすれば、

　　

で表される。

（１）　Pはどんな曲線を描いて運動するか。

（２）　Pが地面についた瞬間の速度の大きさと方向を求めよ。

【解】

（１）

　　

これを

　　

に代入すると

　　

（２）　t秒後の速度ベクトル

　　

とすると、
　　

t秒後に地面に到着したとすると

　　

t=0は解として不適。

よって、

　　

大きさは

　　

方向は
　　

したがって、θ=−α

（解答終わり）

点Pの到達距離は
　　

したがって、sin2α=1、すなわちα=π/4=45°のとき、到達距離は最大になる。

§２　加速度ベクトル

速度ベクトルの時刻tにおける変化率を加速度、加速度ベクトルという。

時刻tにおける速度ベクトルを

　　

時刻t+Δtにおける速度ベクトルを

　　

とすると、
　　

Δt→0として、点Pの時刻tにおける加速度は

　　

のx方向の成分、y方向の成分を、x軸方向の分加速度、y軸方向の分加速度といい、であらわす。すなわち、

　　

の大きさ

　　

を速さという。

とx軸のなす角をθとすると、

　　

である。

 

問　点Pが半径rの円Oの円周上を一定の角速度ω（ω>0）で回転しているとき、

（１）　点Pの速度の大きさを求めよ。

（２）　点Pの加速度の大きさと向きを求めよ。

【解】

時刻t=0に点(r,0)を出発してからt秒後の点Pの座標を(x,y)とすると、

　　

である。

（１）　点Pの速度ベクトルは

　　

よって、速度の大きさは

　　

（２）　加速度ベクトルは

　　　　

加速度の大きさは

　　

加速度の向きは

　　
よって、中心Oに向かっている。（解答終了）

 

問題　動点Pの運動がであるとき、運動の経路は楕円であることを示し、加速度の方向はこの楕円の中心に向かい、その大きさは動点の位置をPとすれば、ω²・OPに等しいことを証明せよ。ただし、a、b、ωは正の定数とする。

【解】

　　

よって、運動の経路は楕円

　　

である。点Pの位置ベクトルを

とすれば、加速度ベクトル

　　

よって、、加速度の方向はこの楕円の中心に向かい、その大きさは動点の位置をPとすれば、ω²・OPに等しい。

（証明終わり）

タグ：微分積分