ベクトル 空間図形への応用

ベクトル　空間図形への応用

問題１　正四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC

（２）　PR⊥AB、PR⊥CD

【解】

　　
とする。

正四面体だからAB=AC=AD。

正四面体の１辺の長さをaとすると、

　　

また、△ABC、△ABD、△ACDは正三角形だから、∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°。

　　

（１）

　　

同様に、AC⊥BD、AD⊥BC

（２）　とする。

　　

よって、

　　

また、

　　

よって、

　　

問題２　立方体の３つの辺をOA、OB、OCとし、同一の平面上にない頂点をDとすると、ODは△ABCの平面に垂直であることを示せ。

【解】

立方体の１辺の長さをaとし、O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a)とする。さすれば、D(a,a,a)。

　　

そうすると、

　　

よって、

　　

だから、ODと△ABCの平面は垂直である。

（解答終わり）

座標を導入せず、次のように解いてもいい。

【別解】

　　

立方体だから

　　

また、

　　

だから、

　　

よって、OD⊥AB、OD⊥AC。

したがって、ODと△ABCの平面に垂直である。

（解答終わり）

問題３　空間の３点A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1）がある。

（１）　△ABCの面積を求めよ。

（２）　原点Oから△ABCに垂線OHをひくとき、の向きの単位ベクトルを求めよ。

（３）　△ABCの平面と△AOCのなす角の余弦を求めよ。

【解】

（１）
　　

（２）
　　
とする。

単位ベクトルだから

　　

また、OH⊥CA、OH⊥CBだから

　　

よって、

　　

x≧0、y≧0、z≧0だから、
　　

 

（３）　△ABCの平面の単位垂直ベクトルは、△AOCの単位垂直ベクトルをとすると

　　

この２つの平面のなす角をθとすると

　　

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