微分積分 除去可能な不連続 [ネコ騙し数学]
微分積分 除去可能な不連続
f(x)はx=a以外で連続で、x=aにおいて定まった値を持たず不連続であるが、
が有限確定であるとする。
このとき、x=aにおけるf(x)の値をf(x)=bと定めると、f(x)は連続になる。
例
この関数は、x=2で0/0で定まった値を持たず不連続。
しかし、x=2におけるf(x)の値を
と定義し、
とすると、f(x)はx=2で連続になる。
問題1
は、f(0)をどのように定めたら、連続になるか。
【解】
x≠0でよって、
また
ハサミ打ちの定理より
である。
したがって、f(0)=0に定めればよい。
(解答終わり)ハサミ打ちの定理
f(x)≦g(x)≦h(x)かつ
ならば
である。
問題2
がxのすべての値に対して連続であるようにa、bの値を定めよ。
【解】
|x|>1のとき|x|<1のとき
x=1のとき
x=−1のとき
x=1で連続であるためには
x=−1で連続であるためには
でなければならない。
①と②よりa=0、b=1である。
【解答終わり】極限の計算で、
を使っている。
さらに、
を使っている。
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