微分方程式の解法２

微分方程式の解法２

§１　同次形微分方程式の解法

高校の微分積分の範囲外なのだけれど、同次形の微分方程式の解法を紹介することにする。

１階の同次形の微分方程式の基本形は

　　

である。

y=uxとおくと、

　　

したがって、①の微分方程式は

　　

になる。

 

問題１　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

y=uxとおくと

　　

（１）　両辺をxで割ると

　　

したがって
　　

よって、解は

　　

（２）

　　

両辺をx²で割ると
　　

u=y/xだから、

　　

両辺にxをかけて

　　

（解答終了）

 

§２　積分を含む関数方程式の解法

F'(x)=f(x)とすると、定積分は

　　

になる。

したがって

　　

つまり、

　　

である。

 

問題２　次の条件を満たす微分可能なf(x)を求めよ。

　　

【解】

（１）　両辺をxで微分すると

　　

y=f(x)とおくと

　　

これを解くと

　　

また、

　　

よって、

　　

（２）　両辺をxで微分すると

　　

y=f(x)とおくと
　　

また、

　　

よって、

　　

（解答終了）

問題２の場合、微分方程式に初期条件を与えられることに注意。

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