定積分と不等式２

定積分と不等式２

問題１　（シュワルツの不等式）

（１）　a、bは定数で、a<bとし、f(x)とg(x)はa≦x≦bで連続な関数とする。a≦x≦bなる範囲で

　　

とおくとき、

　　

であることを証明せよ。

（２）　次の不等式（シュワルツの不等式）を証明せよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）　（１）より、F'(x)はa≦x≦bでF'(x)≧0であり、また、F(a)=0。

よって、a≦x≦bでF(x)は増加関数で、
　　

（解答終了）

シュワルツの不等式

　　

の一般の証明法は次の通り。

a<b、そして、tを任意の実数とすると

　　

任意の実数tについて①が成り立つので、

　　

そして、問題１は、この別な証明である。

問題２　f(x)、g(x)をx≧0で定義された正の値をとる連続関数で、g(x)は連続関数であるとする。このとき、

　　

に対して次の問に答えよ。

（１）　すべてのx>0に対してである。

（２）　はx>0で増加関数である。

ここで一般に増加関数であるとは、x₁<x₂ならばh(x₁)≦h(x₂)が成立することをいう。

【解】

（１）　仮定によって0≦t≦xにおいてg(0)≦g(t)≦g(x)。

また、f(t)>0だから

　　

（２）

　　

（解答終了）

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ワンポイントゼミ２２ 定積分と不等式１の補足

ワンポイントゼミ２２　定積分と不等式１の補足

定積分と不等式１で出てきた内容を補足することにする。

まず、次の不等式を証明することにする。

　　

【証明】

　　

とし、f(x)の変化を調べるために、xで微分する。

　　

したがって、0<x<π/2でf'(x)>0で、f(x)は単調増加。

よって、

　　

次に

　　

とする。

　　

cosα=2/πとすると、g(x)の増減表は

となり、x=0、x=π/2のときに最小で、最小値は0

よって、0<x<π/2において

　　

（証明終了）

次に、

　　

の極限を求めることにする。

　　

と考えると、x→0+0のとき、logx→−∞、1/x→+∞となり、①の極限はいわゆる不定形の極限になる。

そこで、ロピタルの定理を使うと

　　

になる。

問題３の（１）のグラフで

　　

の

　　

は、こうして求めている。

x=0のところで白抜きの丸で表現されているのは、そういうわけです。

（下図参照）

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