ワンポイントゼミ１９

ワンポイントゼミ１９

問題　x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。点Pは原点を出発しt秒後の速度がsin2tであり、点Qは点(0,1)を出発しt秒後の速度がsintである。このとき線分PQの中点Rの軌跡を図示せよ。ただし速度は座標軸の正の方向とする。

【考え方】

点P、Qの座標をそれぞれ(x,0)、(0,y)とする。

点Pのt秒後の速度はsin2tだから

　　

点Qのt秒後の速度はsintだから

　　

つまり、

　　

①、②をtで積分すると

　　

t=0のとき、x=0、y=1だから、

　　

したがって、

　　

RはP、Qの中点だから

　　

三角関数の倍角公式より

　　

だから、③は

　　

④より

　　

これを⑤に代入すると

　　

ところで、

　　

よって、③式から、Xは、cos2t=−1のとき最大、cos2t=1のとき最小で、

　　

となる。

よって、求める軌跡は

　　

である。

ちなみに、

　　

ax=sとおくと、

　　

したがって、

　　

同様に、

　　

置換積分２

置換積分２

今回は、置換積分を用いて、不定積分を求めることにする。

置換積分の基本公式は次のとおりである。

x=g(t)とおくと

　　

問題１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　t=3x−1とおくと、

　　

よって、

　　

（２）　t=x²+2x+3とおくと

　　

よって、

　　

（解答終了）

（２）については、f(x)=x²+2x+3とすると、f'(x)=2x+2=2(x+1)だから、

　　

という公式を用いて、

　　

と、解くこともできる。

なお、

　　

だから、|x²+2x+3|=x²+2x+3である。

 

問題２　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１） とおくと

　　

また、t²=x+1より、x=t²−1。

よって

　　

 

（２）　とおくと

　　

よって、
　　

（解答終了）

次のように解いたほうがいいのかもしれない。

【別解】

（１）　とおくと、t²=x+1より、x=t²−1。

よって、

　　

また、3x−1=3t²−4

よって、

　　

（２）　x²+1=tとおくと

　　

よって、
　　

（解答終了）

という不定積分は、t=sinxとおくと

　　

よって

　　

になる。

同様に、t=cosxとおくと

　　

だから

　　

になる。

 

問題３　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　sinx= tとおくと

　　

よって
　　

（２）

　　

cosx=tとおくと

　　

よって、

　　

（３）　1+sinx=tとおくと

　　

よって

　　

（解答終了）

（２）、（３）は

　　

と解いてもよい。

また、

（３）は、sinx=tとおき

　　

と解いてもよい。

 

次に、

　　

というタイプの不定積分は、とおくと

　　

とするとよい。

問題４　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とおくと
　　
だから、

　　
（解答終了）

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