第１８回 中線定理

第１８回　中線定理

§１　中線定理

中線定理は三角関数のところで証明していますが、三平方定理を用いて新たに証明することにします。

中線定理（ハップスの定理）

△ABCの辺BCの中点をMとすれば

【証明】

鋭角三角形の場合（∠C<90°）

AからBCに垂線をおろし、交点をHとする。

△ABHは直角三角形なので

　　

△AHCも直角三角形

　　

①と②を足すと、

　　

△AMHも直角三角形

　　

よって、

　　

鈍角三角形の場合（∠C>90°）

図のように、BCの延長線上にAからおろし、その交点をHとする。

△ABHは直角三角形

　　

△ACHも直角三角形
よって、

　　

△AMHも直角三角形

　　

よって、

　　

（証明終わり）

なお、次のような直角三角形のとき、中線定理（ハップスの定理）は三平方の定理になる。

直頂角Aの直角三角形ABCの場合、

　　

なので

　　

となる。

ちなみに、他の幾何の定理がそうであるように、逆も成り立つにゃ。

中線定理をさらに一般にしたスチュワートの定理がある。

スチュワートの定理

三角形ABCと辺BC上の点Pに対して

　　

 

§２　問題

問題１　Aが直頂角の直角三角形ABCにおいて、辺AB、辺ACにそれぞれD、Eをとれば、

　　

であることを証明せよ。

【解】

　　

もういいでしょう。

問題２　二等辺三角形ABCの底辺BC上の１点をDとすれば、次の等式が成り立つことを証明せよ。

　　

【解】

底辺の中点MとAを結び、その交点をMとする。

△ABCは二等辺三角形なので

　　AM⊥BC

DはBM上にあるとする。

△ABMと△ADMは直角三角形なので三平方の定理が成り立ち、

　　

よって、
　　

また、

　　

よって、

　　

DがMC上にあるときも同様。

　　

（証明終わり）

 

問題３　四角形ABCDの辺AR、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、

　　

であることを証明せよ。

【証明】

四角形PQRSの対角線の交点をOとする。

中点連結定理より、

　　

故に、四角形PQRSは平行四辺形。

また、同様に中線連結定理から

　　

平行四辺形なので、対角線は互いを２等分する。

△QRPに対して中線定理を使うと

　　

また、

　　

だから、
　　

①と②より

　　

（証明終わり）

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第１７回 三平方の定理（ピタゴラスの定理）

第１７回　三平方の定理（ピタゴラスの定理）

§１　三平方の定理

定理　三平方の定理（ピタゴラスの定理）

△ABCにおいて∠C＝∠Rならば

　　

である。

逆も成り立つ。

【証明】
この図が証明。

一辺(b+c)の正方形の面積＝４×直角三角形ABCの面積＋一辺cの正方形の面積

　　

（逆の証明）

B'C'=a、A'C'=b、∠C'=∠Rである△A'B'C'を考える。直角三角形なので

　　

一方、仮定より△ABCでは

　　

①、②より

　　

c'>0、c>0なので、c'=c。

よって、

　　△ABC≡△A'B'C'　（三辺相等）

したがって、

　　∠C=∠C'=∠R

となり、c²=a²+b²ならば∠C=90°の直角三角形である。

（証明終わり）

三平方の定理の逆の証明では、「同一法」と呼ばれる証明法を用いている。

同一法とは、

「pならばq」が真で、かつ、qを満たすものがただ一つならば、「pならばq」の逆命題「qならばp」が成立する

ということを用いて、逆命題を証明する数学の証明法。

三平方の定理の簡単な証明としては、この他に以下のようなものがあります。

【略証】

点CからABに垂線をおろし、交点をそのDとする。

△ABC∽△ACDだから

　　

また、△ABC∽△CBDだから

　　

よって、

　　

【略証終わり】

あるいは、面積比は相似比の２乗を使って

　　

そして、△ABC=△ACD＋△CBDだから

　　

と証明してもいいケロ。

中学校の教科書に載っている三平方の定理の証明は難しいので、あの証明は駄目だケロ。

では、問題を。

問題１　２辺が６、８である直角三角形は２通りある。それぞれの３辺で残りの辺の長さを求めよ。

【解】

２辺が直角を挟み、残りの１辺が直角三角形の斜辺である場合と、そうでない場合の２通りがある。

直角三角形の斜辺である場合、

　　

そうでない場合、このとき、c=8になるので、残りの辺の長さxとすると

　　

となる。

問題２　直角三角形ABCで、斜辺BCの中点をMとするとき、線分AMの長さをもとめよ。

【解】

直角三角形なので、AM=BM=MC。

x=AMとすると、BC=2xになるので、三平方の定理より

　　

問題３　四角形ABCDで、対角線が直交するとき、

　　

であることを証明せよ。

【解】

直角三角形PABで

　　

同様に、

　　

よって、

　　

§２　三平方の定理の平面図形への応用

（１）　座標平面上の２点間の距離

座標平面上にある２点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)の距離ABは

　　

となる。

これは、これまでに何度も使ってきたけれど、三平方の定理を使って、このように求められる。

問題４　３点A(2,6)、B(−4,2)、C(0,−4)を頂点とする三角形はどのような三角形か。また、その面積を求めよ。

【解】

　　

よって、

　　

となり、∠Bが直角の直角二等辺三角形。

面積Sは

　　

（解答終わり）

問題４では

　　

が成立するので、∠B=∠Rの直角三角形。さらに、AB=BC=2√13だから二等辺三角形。このことから∠C=90°、∠A=∠B=45°の直角二等辺三角形であることがわかる。

（２）　直交する直線の傾きの積mm'=−1

y=mx+nとy=m'x+n'という２直線があるとする。この２直線が直交するならば傾きの積mm'=−1であり、傾きの積がmm'=−1ならば直交する。

このことは、中学や高校で習ったと思う。そして、これは三平方の定理を使って簡単に証明することができる。

傾きだけの問題なので、l:y=mx、l':y=m'xとしても一般性は失われないので、議論を簡単にするために、この場合で考えることにする。

　――lとl'との交点が原点Oに一致するように、lとl'を平行移動させたと考えてもいい――

直線l上にA(1,m)、l'上に点B(1,m')をとる。この２直線は原点Oで直交するので、△OABは∠AOB=90°の直角三角形。

よって、三平方の定理が成り立ち

　　

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番外編 調和数列

番外編　調和数列

調和平均、調和点列が出てきたので、さらに話を進めて、調和数列。

例えば、

　6,, 2, 3/2, …

という数の列、数列のように、その逆数が等差数列になる数列を調和数列という。
先にあげた

　　

の場合、逆数をとると

　　

となり、初項が1/6で公差1/6の等差数列になっていることが分かる。

　　

とすると、

　　

となる。

n=1,2,3を代入すれば、こうであることが確かめられる。

ちなみに、が初項y₁で公差dの等差数列であるとき、

　　

となる。

だから、

　　

となる。

また、の始めの２項がa、bであるとき

　　

となる。

等差数列は隣接する二項の差が一定なので

　　

という関係があり、調和数列の場合は、その定義から

　　

となる。

ということで、隣接する三項がa、b、cであるとき、等差数列の場合、

　　

という関係がある。

また、a、b、cが調和数列の場合、

　　

となる。つまり、隣接する３項の真ん中の項bはaとbの調和平均になっているんだにゃ。

問題　直角三角形の３辺の長さa、b、c（cが斜辺）が等差数列をなすとき、a:b:cを求めよ。

【解】

a、b、cが等差数列をなすので、

　　

また、cを斜辺とする直角三角形になるので

　　

①にこの結果を代入すると

　　

よって、

　　

（解答終わり）

ということで、明日は「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」をやるにゃ。
そして、調和数列、調和点列は、円のところでまた出てくるにゃ。

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お前ら、素直に負けを認めたらどうだケロ！！

お前ら、素直に負けを認めたらどうだケロ！！

直角も垂直も９０°ピッタリだケロ。そして、そして、長方形ABCDも間違いなく長方形。そして、BCの垂直二等分線も正確に垂直二等分線だケロ。

さらに言うと、

△A'BP≡△DCPも間違っていない。この三角形は間違いなく合同だケロ。

騙しは、A'Dの垂直二等分線FPにある。
∠A'FP=９０°だけれど、あの図では
　　A'F>FD
になっているんだケロ。

この図のままで正確な図を書くと点Pがずっと下になるので、わかりやすくするために∠A'BAをこの図よりも大きくするにゃ。

そうすると、こうなるにゃ。

この図を見れば、
　　△A'BP≡△DCP

であるのが分かるだろう。
そして、あの証明は⑥までは正しいんだケロ。

だから、いくら、証明を見て間違いを探そうとしても無駄だと言ったんだケロ。

間違っているのは、図なんだケロ。

そして、上の図を見ながら間違いを探そうとしても、まず１００％間違いを見つけることができないのであった。

勝利の踊りをするにゃ。



この人を愚弄したかのような表情がいいケロ。

この記事を読んだ人は、ネムネコへのお賽銭をお忘れなく。

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番外編 直角は直角より大きく、かつ、等しいことの証明

番外編　直角は直角より大きく、かつ、等しいことの証明

ネムネコが、スゴイ証明を一つ紹介するにゃ。

今日から数学が変わってしまうかもしれない、すごい証明だケロ。

【証明】

図のように、長方形ABCDの外部に

　　

となる点をとる。

BCの垂直二等分線とBCの交点をE、A'Dとその垂直二等分線の交点をFとする。

A'F=FDでFPは共通なので、三平方の定理から

　　

となる。

同様に、

　　

さらに

　　

①、②、③より

　　

④から

　　

で、PB=PCから△PBCは二等辺三角形だから

　　

⑤−⑥

　　

また、図より明らかに∠A'BC>90°。

よって、直角は直角より大きく、かつ、直角に等しい！！
（証明終わり）

△A'BP≡△DCPで、この２つの三角形が合同であること自体、驚きなのに、さらに、とんでもないことが起きてしまった(^^ゞ

この２つの三角形が合同に見えないのは、目の錯角だね(^^)

今日から数学史が変わる(^^ゞ

もちろん、この証明には致命的な間違いがある。
　――騙しが入っている――

間違いを見つけられますかい(^^)

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第１６回 相似と比例に関する総合問題

第１６回　相似と比例に関する総合問題

これまでやってきた図形の相似に関する総合的な問題を、復習をかねて、解くことにします。

問題１　BC=CG、である。AF=3、EF=2、FC=2のとき、x、yの大きさを求めよ。

【解】

△ADC∽△AEFだから

　　

また、△BGE∽△BCD。

題意より

　　

（解答終わり）

⑨のところは、BC=CG、だから、中点連結定理よりDはBEの中点、そして、EF=2DCとなるので、これを使ってもいい。

この問題で点Dが与えられていなければ、メネラウスの定理を２度使って求めてもよい。

【別解】

△ABCとBGでメネラウスの定理より

　　

△GBEとBAでメネラウスの定理より

　　

（別解終わり）

問題２　である。AB=4、EF=9とするとき、CDの長さを求めよ。

【解？】

台形ABDC∽台形CDFE

　　

【解答？終わり】

と、解いちゃ〜駄目なんでしょうね〜。

【解】

△BDC∽△DFE

よって、

　　

△ABC∽△EDE

　　

だから、

　　

なので、①と②より

　　

（解答終わり）

問題３　、ACとBDの交点をO、DB、ACの中点をそれぞれP、Qとし、AD=4、BC=8とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　PQを求めよ。

（２）　△OADと△OQPの面積比はいくらか。

（３）　四角形ABCDの面積は、△OPQの面積の何倍か。

【解】

（１）　PQの延長とCDの交点をRとする。

、CP=PBと中点連結定理より、RはCDの中点である。

△CBDに注目。中点連結定理より

　　

△ADCに注目すると、同様に

　　

よって、

　　

（２）　△OAD∽△OQP。

相似比は

　　

なので、面積比は4:1。

（３）　少しは自分でやるべきだと思うにゃ！！

答えは1/36だケロ。

こんなものは暗算だにゃ。

　　

や

　　

と計算できるにゃ。

真面目に解けよな！！

真面目に解いた人にしか、上の式の意味はわからない！！

（解答終わり）

PQの長さに関しては、中点連結定理のあたりで

　　

という公式（？）を出している。これを使ってもいいが・・・。

問題４　平行四辺形の中点をE、AEとBDの交点をFとする。平行四辺形の面積が200であるとき、次の問いに答えよ。

（１）　BF:FDを簡単な整数比であらわせ。

（２）　△BEFの面積を求めよ。

（３）　四角形DFECの面積を求めよ。

【ヒント】

（１）　△AFD∽△EFB

（２）　△ABDは平行四辺形ABCDの面積の半分。さらに、

　　

あとは相似比（の２乗）から△BEFの面積が出てくる。

（３）　100−△BEFだケロ。

オレが解いてもしょうがないケロ。

解けよな！！

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第１５回 調和点列

第１５回　調和点列

同一直線上にA、B、P、Qがあって、P,QがABを同じ比に内分、外分、すなわち

　　AP:PB=AQ:QB

のとき、P、QはABを調和に分けるといい、４点A、B、P、Qはこの順に調和点列をなすという。

分かりづらいと思うのですが、A、B、P、Qは図のような位置関係になります。

この図は、

　　AP:PB=AQ:QB=2:1

の場合について示したものです。

式を少し変形すると

　　

と言ったような関係が出てくるにゃ。

問題１　４点、A、B、C、Dが調和点列ならば

　　

であることを証明せよ。

【証明】

AB=b、AP=p、AQ=qとする。

そうすると、PB=b−p、BQ=q−bになる。

A、B、C、Dは調和点列をなしているので、②より

　　

となり、この逆数をとると

　　

（証明終わり）

前に調和平均について少し話したけれど、このことからbはpとqの調和平均になっていることが分かる。

第１０回と第１１回で次の定理を紹介したにゃ。

定理　△ABCにおいて∠A（またはその外角）の２等分線が対辺（またはその延長）で交わる点をDとすると、

　　BD:DC=AB:AC

である。

△ABCにおいて∠Aの２等分線とBCの交点をP、また、∠Aの外角の２等分線とBCの延長との交点をQとする。

上の定理から、

　　

になるので、B、C、P、Qが調和点列である。

問題２　△ABC内に１点Oをとり、AO、BO、COが対辺と交わる点をそれぞれD、E、Fとする。

このとき、D、GはBCを調和に分けることを証明せよ。

【証明】

△ABCと点Oについてチュバの定理を用いると

　　

△ABCとFGについてメネラウスの定理を用いると

　　

よって

　　

だから、D、GはBCを調和に分ける。

（証明終わり）

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第１４回 問題演習

第１４回　問題演習

問題１　

△ABCがある。辺ABを１：２に内分する点をP、BCを３：２に内分する点をQ、直線AQと直線CPの交点をOし、点B、Oを通る直線とCAの交点をRとする。

次の問いに答えよ。

（１）　CR：RAを求めよ。

（２）　QO：OAを求めよ。

（３）　△OBQ：△ABCを求めよ。

【解】

（１）　チュバの定理より
　　

よって、CR：RA=4:3

（２）　メネラウスの定理より

　　

よって、OQ：QA=4：５

（３）　△OBCと△ABCは底辺BCが共通なので、その面積比は

　　

また、△OBQと△OBCは高さが共通なので、面積比は

　　

よって

　　

（解答終わり）

 

問題２　∠A=∠Dである２つの三角形、△ABC、△DEFがある。このとき、面積比は

　　

であることを証明せよ。

【証明】

　　

（証明終わり）

確かにそうなのですが、次の図を参考に線分比から証明して欲しいにゃ。

と、思ったけれど、付き合いが長いにゃ、オレには、「こいつらは絶対にやらない」という確信があるにゃ。

だから、不本意だけれど、やるにゃ。

△AEFと△ADBは、AE、ABを底辺と考えると、高さが共通だから、その面積比は

△ABFと△ABCの底辺をAF、ACと考えると、高さが共通なので、その面積比は

①と②の辺々を掛けると、△ABFが消えて

△AEFと△DEFは同じ、合同だから

この逆数をとれば、答えになるにゃ。

 

問題３　△ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fをとり、

　　

とするとき、△DEFと△ABCの値を求めよ。

【解】

△ABCから薄い紫色の部分を引いたものが△DEFだケロ。

△ABCと△ADFに注目すると

　　

これと問題２より

　　

△BED、△CFEについても同様に

　　

よって、

　　

（解答終わり）

問題４　△ABC内の任意の点をOとし、AO、BO、COの延長と対辺との交点をD、E、Fとするとき、次の等式を証明せよ。

（１）　

（２）　

【解】

（１）　△ABCと△OBCの底辺をBCとすれば、その面積比は

　　

同様に、

　　

よって、

　　

（２）

　　

（解答終わり）

タグ：初等幾何

第１３回 メネラウスの定理とチュバの定理

第１３回　メネラウスの定理とチュバの定理

§１　メネラウスの定理

メネラウスの定理

△ABCの辺AB、BC、CAまたはその延長が、１つの直線とそれぞれP、Q、Rと交わるとき

　　

である。



【証明】

直線lに平行でCを通る直線とABの交点をDとする。

CDと直線ｌは平行なので、

　　

よって、

　　

（証明終わり）

定理（メネラウスの定理の逆）

△ABCの辺AB、BC、CAの延長上、または、それらの延長上と２つの辺上にそれぞれP、Q、Rがあり、

　　

ならば、３点P、Q、Rは１直線上にある。

【証明】
図のように、

　　

を満たす点Rがあるとする。

PとQを結ぶ直線lとACの交点をR'とする。

メネラウスの定理より

　　

となる。

①と②より

　　
辺CAの内分比が同じ点なのでR=R'で、①のとき、P、Q、Rは１直線上にある。

（証明終わり）

こういう証明は、背理法のほうがスッキリするのではないか。

そして、この証明に使用した図は背理法を意識したもの。こう書く以外に図の書きようがないケロ！！

§２　チュバの定理

チュバの定理の証明に入る前に、まず、次の図に示される△ABPと△ACPの面積比を考えることにする。

この図から、

　　

であることがわかる。

また、△DBH∽△DCKだから、

　　

よって、

　　

になる。

定理（チュバの定理）

△ABCの辺上にない１点P、A、B、Cとを結ぶ直線が、それぞれ、対辺またはその延長と交わる点をそれぞれD、E、Fとすると、

　　

である。

【証明】
△ABPと△ACPとはAPを共有しているので

　　

同様に

　　

よって、

　　

（証明終わり）

なのですが、これはメネラウスの定理を使って次のように証明することも可能。

【別証】

メネラウスの定理より、

　　

同様に、メネラウスの定理より

　　

①÷②

　　

（証明終わり）

メネラウスの定理と同様に、チュバの定理も逆が成り立つケロ。

定理　（チュバの定理の逆）
△ABCがあり、辺、BC、CA、ABの辺上に点D、E、Fがあり、

　　

ならば、AD、BE、CFは一点で交わる。

§３　問題

メネラウスの定理、チュバの定理を知っていても、使えなければ意味がない。

ということで、問題。

問題

BO：OQとAP：POを求めよ。

【解】

△ABQとRCに注目。

メネラウスの定理より、

　　

よって、BO:OQ=1:2。

△AQOとRCに注目。

メネラウスの定理より

　　

よって、AP:PO=6:1

メネラウスやチュバの定理を使えば、このように線分比が求まるという話でした。

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第１２回 内分と外分

第１２回　内分と外分

§１　内分

線分AB上に点Pがあり、AP:PB=m:n　（m>0、n>0）となるとき、点Pは線分ABをm:nに内分するといい、点Pを内分点という。

AP:PB=m:nだから、

　　

になる。

あるいは、AP:AB=m:(m+n)になるので

　　

A、B、Pが数直線上のA(a)、B(b)、P(p)という点である。

a<bのとき、

　　

a>bのとき、AP=a−p、PB=p−bになり、この時も

　　

になる。

§２　外分

線分ABの延長線上に点Qがあり、

　　AQ:QB=m:n

となるとき、点Qは線分ABをm:nに外分するという。また、この点QをABの外分点という。

数直線上の点A(a)、B(b)、Q(q)で、a<b、かつ、m>n>0とすると、

　　

になる。

形式的な話になるけれど、

　　

となるので、外分点Qは線分ABをm:−nの内分点と考えることもできる。

そして、

　　

とし、nm>0のとき内分、nm<0のとき外分と考えることもできる。

あくまで形式的議論で、こんなものを覚える必要はない。百害あって一利なしなので、

§３　面積比

三角形の面積Sは底辺BC=a、高さをhとすると

　　

になる。

したがって、三角形の面積は、底辺の長さがが一定ならば高さに比例し、高さが一定ならば底辺の長さに比例することがわかる。

だから、２つの三角形の面積比には次の関係があることがわかる。

【１】　２つの三角形の面積の比は、等底ならば高さの比、等高ならば底辺の比に等しい。

【２】　一辺が共通ならば

　　

【１】について、少し説明すると、等底のときは、△ABCと△A'BCの面積比は

　　

となり、２つの三角形の面積比は高さの比になる。

また、高さが一定ならば、△ABDと△ADCの面積比は

　　

となり、三角形の底辺の比AD:BC=m:nになる。

また

　　

という関係がある。

【２】については、次の図を見ると何故こうなるかわかると思う。

このとき、△ABCと△A'BCの高さの比は

　　H'H:AH=A'D:AD

になるので、

　　

となる。

問題　△ABCの辺BCをm:nに内分する点をDとし、線分ADをp:qに内分する点をA'とする。

次の問いに答えよ。

（１）　△ABCと△A'BCの面積比を求めよ。

（２）　△ABCと△A'BDの面積比を求めよ。

【解】

（１）　△ABCと△A'BCは底辺BCを共通しているので面積比は

　　

である。

（２）　△A'BCと△A'BDは高さが共通。よって、面積比は

　　

①と②をかけると

　　

面積比を求めることができた。

何でこんなことを急にやり出しかというと、初等幾何で有名なメネラウスの定理とチュバの定理の証明をするためです。

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