定積分の計算法

定積分の計算法

§１　定積分の計算法

F(x)をf(x)の原始関数、すなわち、

　　

とする。

このとき、定積分（の計算法）は

　　

である。

ちなみに、∫の下についている添字のaを積分の下端、上についているbを積分の上端という。

例

　　

定積分には、不定積分と同様に、以下の性質がある。

　　　　

【略証】

F(x)、G(x)をf(x)、g(x)の原始関数とする。

　　

（略証終わり）

さらに、定積分には次のような性質がある。

　　

【略証】
　　
【略証終わり】

また、定積分の定義から明らかなように、

　　

である。

 

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

　　

だから、

　　

（解答終わり）

問題２　次のことを示せ。

　　

【解】

　　

（解答終わり）

問題２の結果は公式のようなもの。これを知っていると、次の定積分は暗算で計算できる。

　　

問題３　次の値を求めよ。

　　

【解】

x²+x−2=(x+2)(x-1)

0≦x≦1でx²+x−2≦0、1≦x≦2ではx²+x−2≧0

したがって、

　　

（解答終わり）

§２　微分と定積分の関係

xを変数とすると、

　　

はxの関数となる。これを

　　

とおけば、

　　

である。

f(x)の原始関数をφ(x)とすれば、

　　

問題４　（１）を計算し、（２）のf(x)を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）　両辺を微分すると

　　

よって、

　　

また、

　　

だから、x=0を代入すると、

　　

よって、C=1で、

　　

（解答終わり）

 

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