So-net無料ブログ作成

定積分の応用 面積の分割に関する問題 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積の分割に関する問題


問題1 直交軸において、原点と点(1,1)を結ぶ線分を対角線とする正方形がある。方程式において、nを変えると種々の曲線ができるが、その中から2つの曲線を求めて、これによって正方形を3等分せよ。

graph-314.png【解】

3等分する2つの曲線を

  

とし、0≦x≦1

  

とすると、

  

よって、

  

である。

(解答終了)


(1,1)を点Aとし、原点OAとを直線で結ぶと、直線OA、つまりy=xに関して対称。

y=x²の定義域を0≦x≦1とすれば、もう一方の曲線はx=y²0≦y≦1)で、これからy=√xが出てくる。

 


問題2 aを正の定数とするとき、曲線

  

と両座標軸で囲まれた図形を曲線y=sinxが2等分するようにaの値を定めよ。

【解】

graph-315.png0<x<π/2におけるy=acosxy=sinxの交点のx座標をαとすると、

  

また、sin²α+cos²α=1だから、cosαsinαについて解くと
  tsmb-01.png

問題の条件より

  
①に
  
を代入すると、

  tsmb-00.png

両辺を2乗すると、

  tsmb-03.png

a>0だから、

  

(解答終了)

 



問題3 曲線y=sinx上の点P(a,b)における接線とx軸との交点をKとし、Pからx軸におろした垂線の足をHとする。

PKHが曲線y=sinxによって分けられる2つの部分の面積比が

  (図形PKO):(図形POH=1:2

となるようにaを定めよ。ただし、Oは座標の原点、0<a<π/2とする。

【解】

graph-316.png図形PKO:図形POH=1:2だから、

  △PKH:図形POH=3:2

接点Pにおける接線の方程式は、y'=cosxだから

  tsmb-10.png

この接線とx軸との交点Kx座標をtとすると

  tsmb-12.png

よって、△PKHの面積S₁

  

図形POHの面積S₂

  

S₁:S₂=3:2だから2S₁=3S₂

よって、①と②より

  

sin²a+cos²a=1を使って③からsin²aを消去すると、

  

0<a<π/2だからcosa=1は解として不適なので、

  

(解答終了)

 


問題4 曲線y=logxx軸との交点をAとする。また、この曲線に原点Oから引いた接線の接点をBBからx軸におろした垂線の足をHとする。

(1) 接線OBの方程式を求めよ。

(2) 線分AH上に1点Pをとり、線分APBPおよび曲線ABの囲む面積を△BOHの半分にしたい。Px座標を求めよ。

【解】

graph-317.png(1) 接点Bの座標を(t,logt)とすると、y'=1/xだから、接線の方程式は

  

これが原点Oを通過するので、

  

よって、接線の方程式は

  


(2) 接点Bの座標は(e,1)だから、△BOHの面積は

  

Pの座標をpとすると、△BPHの面積は

  

問題の条件より
  tsmb-04.png

(解答終了)



タグ:微分積分