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積分の応用 曲線の長さ [ネコ騙し数学]

積分の応用 曲線の長さ


§1 曲線の長さ

滑らかな曲線y=f(x)上の2点A(a,f(a))B(b,f(b))の曲線の長さを考える。

下図のように[a,b]

  

n個に等分割し、

  

とする。

graph-370.png

このとき、弧PQの長さl(PQ)は線分PQの長さ

  

で近似される。

平均値の定理より
  

よって、

  

したがって、曲線上の点ABの曲線の長さl(AB)

  

で近似され、

  

になる。

すなわち、

曲線y=f(x)a≦x≦b)の長さL

  



問題1 次の曲線のこの長さを求めよ。

  

【解】

graph-371.png(1)

  

曲線の長さをLとすると
  


(2)

  

graph-372.pngしたがって、曲線の長さをLとすると
  

(解答終了)



§2 媒介変数で表された曲線の長さ


媒介変数tで表された曲線

  

の区間α≦t≦βに対応する弧の長さをLとする。

α≦t≦βにおいてf'(t)>0の場合、

  

だから、
  

よって、媒介変数でx=f(t)y=g(t)α≦t≦β)で表された曲線の曲線の長さL


である。


問題2 媒介変数で表された次の曲線の弧の長さを求めよ。

【解】

graph-373.png(1)
  ts-k01-siki-03.png

よって、

  



(2)    

よって

  

graph-374.png


(3)

  

よって

  


graph-375.png

(解答終了)