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定積分の応用 立体の体積 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 立体の体積


§1 立体の体積

(1) 回転体の体積

曲線y=f(x)a≦x≦b)をx軸のまわりに回転した体積をx=g(y)α≦y≦β)をy軸のまわりに回転した体積をとすると、

  

である。

(2) 一般の立体の体積

座標xにおけて軸に垂直な切断面の面積がS(x)ならば、この立体のa≦x≦bの間の体積V

  



§2 問題編


問題1 次の問いに答えよ。

(1) y=1+√xy=0x=0x=2の囲む部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

(2) y=sinxx軸とx=0およびx=πの囲む部分をx軸のまわりに観点して得られる立体の体積を求めよ。

(3) 曲線y=logxx軸およびx=eで囲まれる部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】



graph-330.png

graph-331.png

(解答終了)



問題2 次の問いに答えよ。

(1) y=log(1+x)y=2y軸で囲まれた部分を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

(2) y=1−√xと両軸の世の部分で囲まれた部分をy軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

graph-332.png(1) y=log(1+x)xについて解くと

  

よって、体積V

  


graph-333.png(2) y=1−√xxについて解くと

  

よって、

  

(解答終了)

 


問題3 y=2sinxy=1π/6≦x≦5/6π)の囲む部分をy=1のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

graph-334.png曲線y=2sinx上の動点Pの座標を(x,y)とし、Pからy=1に下ろした垂線の足をHとする。

y=2sinxy=1まわりに回転させて得られる図形を、xで垂直に切った断面積S(x)は、PH=y−1だから

  

したがって、この図形の体積V

  

(解答終了)

 


問題4 曲線y=cosx(−π/2≦x≦π/2)とx軸とで囲まれた図形が、x軸のまわりに回転してできる立体の体積V₁を求めよ。また、この図形をy軸ののまわりに回転してできる立体の体積V₂を求めよ。

graph-335.png【解】  
  
y
軸のまわりに回転して得られる体積V₂

  

y=cosxだから、y=0にはx=π/2y=1には0が対応する。

したがって、

  

よって、

  

(解答終了)