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定積分の応用 体積の変化とその割合 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 体積の変化とその割合


問題1 ある容器に、体積Vの水を入れると、水の深さが√Vになる。この容器に水の深さがhになるまで水を入れるとき、その水面の面積を求めよ。

【解】

水の深さがyのときの水の体積をV(y)、水面の面積をS(y)とする。

問題の条件より、y=√Vだから

  

ゆえに、

  

両辺をyで微分すると、

  

したがって、y=hのときの水面の面積は

  

(解答終わり)


深さyのときの断面積S(y)S(y)=2yだから

  

で、問題1のy=√Vと一致している。

 


問題2 放物線y=x²y軸のまわりに回転してできる曲面を内面とする容器がある。毎秒50πの割合で注水するとき、100秒後の水面の上昇速度を求めよ。

【解】

t秒後の高さをy、体積をVとすると、

  

これは注水された水の体積50πtに等しいので、

  

したがって、t=100のときの水面の上昇速度は

  

(解答終了)

 


graph-384.png問題3 曲線y=x²(長さはcm)のy軸を軸として回転してできる曲面を内壁とする(回転の軸を鉛直に保つ)に、毎秒vcm³ずつ注入する。水を入れ始めてからt秒後における、次のものを求めよ。

(1) 水の深さ

(2) 水面の面積

(3) 水深の増加速度

(4) 水面の面積の増加速度

【解】

(1) t秒後の水の深さをyとすると、そのときの体積V

  

これは水の注水量と等しいので、

  


(2) 水面の面積S

  


(3) (1)より

  


(4) (2)より

  

(解答終了)

 


graph-379.png問題4 半径acmの半球形の容器に水がいっぱい入っている。この容器を一定方向に毎分1ラディアンの割合で静かに傾けるとき、

(1) t分後に容器に残る水の量を求めよ。

(2) t分後に流れでた水の量を求めよ。

(3) 流れ出る水量の変化率をtの関数としてあらわせ。

【解】

(1) 原点Oを中心とする半径aの円の方程式はx²+y²=a²

したがって、右図の水色の部分

  

y軸まわりに回転してできる回転体の体積は

  

したがって、t分後に容器に残る水の量は

  


(2) 傾ける前の水の量は

  

したがって、t分間に流出した水の量は

  


(3) 流れ出る水量の変化率は

  

(解答終了)


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