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定積分の応用 面積3 曲線が媒介変数で表された場合 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積3 曲線が媒介変数で表された場合


曲線がパラメータで表された場合

次のようにパラメータ・媒介変数で表された曲線

  

が、区間a≦x≦bの間でx軸と囲む部分の面積は

  

で与えられる。

特に、a≦x≦bにおいて、y≧0のとき

  

である。


問題1 サイクロイド

  

x軸とで囲まれる1つの部分の面積を求めよ。

graph-295.png

【解】

  

だから、

  

(解答終了)

 

問題2 次の点(x,y)のえがく曲線の囲む図形の面積を求めよ。ただし、a>0b>0とする。

  

【解】

graph-296.png(1)

  

この曲線の囲む面積Sは、第1象限の部分を4倍したものと等しい。

x=のときθ=π/2x=aのときθ=0

よって、

  


(2) この曲線は

  

graph-297.png

この曲線で囲まれる面積は第1象限の部分を4倍したものに等しい。

  

したがって

  

(解答終了)

上の計算では次の公式を使っている。
  
この公式の証明は定積分の漸化式のところで証明をしてある!!


問題3 楕円

  

の上に点P(acosθ,bsinθ)がある。1つの頂点をA(a,0)、中心をOとし、2つの線分OAOPと弧APとによって囲まれる図形の面積を求めよ。ただし、0<θ<π/2とする。

【解】

graph-298.png

AP上の点の座標を

  

とする。

求める面積S

  tsm03-01.png

(解答終了)


タグ:微分積分