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積分の応用 体積4 パラメータ(媒介変数)で表された図形の体積 [ネコ騙し数学]

積分の応用 体積4 パラメータ(媒介変数)で表された図形の体積


graph-349.png問題1 だ円x=acosθy=bsinθによって囲まれた部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。ただし、abは正の実数とする。

【考え方】

x=acosθy=bsinθから媒介変数θを消去し
  

このだ円はy軸に関して対称だから、体積V

  

と簡単に解くことができる。

しかし、問題1のように媒介変数(パラメータ)を消去して曲線の方程式が求められるとは限らないし、求められたとしても、それが複雑な形で計算に困る場合がある。

そこで、媒介変数を消去するのではなく、置換積分を用いて媒介変数のまま計算し、体積を求めることにする。


体積は

  

x=acosθy=bcosθだから、被積分関数である

  

x=0x=aにはθ=π/2θ=0が対応し、

  

したがって、

  

この式中の
  

だから、

  

(考え方終了)

 


問題2 次の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

(1) 曲線(アステロイド)

  

の囲む部分。

(2) 曲線(サイクロイド)

  

x軸で囲まれる部分。

graph-297.png【解】
(1) この図形はy軸に関して対称だから、求める体積Vは第1象限の部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積の2倍である。

したがって、

  

x=0x=aθ=π/2θ=0に対応し、

  

したがって、

  


graph-350.png(2) x=0x=2πaにはθ=0θ=2πが対応し、

  

したがって、体積V
  

(解答終了)



問題3 x=1+t²y=2−t−t²で表される曲線とx軸とで囲まれる図形がx軸のまわりに回転してできる立体の図形の体積を求めよ。

【解】

graph-351.pngこの曲線がx軸とまじわる点ではy=0だから

  

したがって、x軸との交点は(10)(5,0)

この図形は右図のとおり。

この曲線の上側(青い曲線)をy₁、下側(赤い曲線)をy₂とおくと、

体積はV

  

dx/dt=2tだから

  

(解答終了)

 


問題3の解答が理解できない人は、

  

として、

  

を計算すればよい。


タグ:微分積分