ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

【解答例】

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の交点のx座標をxとすると、

　　

したがって、交点の座標は(−1,1)、(2,4)。

（２）　y=x+2とy軸との交点をQとする。





　　

（３）　問題の条件より、−1<t<2。

点A、点Bからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれA'、B'、点Pからx軸に下ろした垂線の足をP'とする。

AA'、PP'、そして、BB'は平行だから

　　

よって、

　　

△OAB=3、△OAP=Sだから

　　

穴あきの丸、◯は含まない。

（４）　三平方の定理より

　　

（解答終了）

【（３）の別解】

−1<t<0のとき

t=0のとき

0<t<2のとき

（別解終了）

ちなみに、△OABは∠OAB=∠Rの直角三角形。

何故ならば、直線AOの方程式はy=−xで直線の傾きは−1、直線y=x+2の直線の傾きは1で、２直線の傾きの積が(−1)×1=−1で、この２直線が直交するから。

また、

　　

と３平方の定理が成立することからもこのことが確かめられる。
そして、この結果を使うならば、△OABの面積は

　　

と求めることができる。

ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作る！！ 解いてミソ

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作る

中学の２次関数の問題を作ってみたにゃ。

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

 

簡単な問題だろう。

解いてミソ。

オマケとして、もうひとつ、小問を追加。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

計算が大変なものになるかどうかは、ひとえに、数学的センス、図形的・幾何学的センスに関わっていると思うにゃ。
いかに簡単に解くか、腕の見せ所だにゃ。

答えを寄せてくれたら、清書して、このブログに掲載するにゃ。
だから、頑張ってといて欲しいにゃ。

誰も寄せてくれないのはわかっているけれど(^^)

第１回 広義積分とは

第１回　広義積分とは

§１　広義積分の定義

これまで有界閉区間において連続な関数の積分について述べてきたが、たとえば、次のような積分を考えてみる。

　　

（A）については被積分関数であるlogxがx=0で定義されていない上に

　　

でなく、（２）は有界閉区間でないので、この積分を定義できないし、形式的に
　　

と計算することもできない。

しかし、
　　

と考えることにより、その値を定めることができる。

このように拡張された積分を広義積分という。

a、b（a<b）を実数、f(x)をa<x≦bで定義された関数とする。a<a'<bの任意の実数a'に対して、f(x)はa'≦x≦bで積分可能であるとする。このとき、

　　

が有限に存在するならば、この値を

　　

とあらわし、広義積分は収束するという。または、f(x)はa≦x≦bで広義積分可能という。すなわち、

　　

また、f(x)がa≦x<bで定義されていて、任意のb'（a<b'<b）に対してa≦x≦b'で積分可能であるとき、広義積分を

　　

と定義する。

f(x)がa<x<bで定義されていて、任意のa'、b'（a<a'<x<b'<b）に対してa'≦x≦b'で積分可能であるとき、適当なc（a<c<b）をとり、広義積分を

　　

と定義する。

また、f(x)がa≦x<∞で定義され、b>aである任意のbに対して、a≦x≦bで積分可能で

　　

が有限な極限値をもつとき、これを
　　

とあらわし、広義積分は収束する、または、f(x)はa≦x<∞で広義積分可能であるという。

同様に、
　　

と定義する。

広義積分が収束するとき、広義積分は絶対収束するという。

広義積分は収束するが、広義積分が収束しないとき、広義積分は条件収束するという。

§２　広義積分の計算例

問題１　次の広義積分の収束、発散を調べ、収束するものはその値を求めよ。

【解】

（１）　だから広義積分。

t>0とすると
　　

と収束するので、

　　

（２）　だから広義積分。

t>0とすると、
　　

となり、発散する。

（３）　t>1とすると

　　
と収束するので、

　　

（４）　t>1とすると

　　

と発散する。

（解答終了）

 

問題２　次の広義積分を求めよ。

【解】

（１）　t>0とすると、
　　

ロピタルの定理より

　　

よって、

　　

したがって

　　

（２）　だから広義積分。

t>0とすると

　　

ここで、ロピタルの定理より
　　

よって、

　　

したがって、

　　

（３）　となり、広義積分。

0<t<1とすると、
　　

したがって、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分 広義積分

極限計算の補足説明２

極限計算の補足説明２

これまでに何度も証明しているけれど、前回の「無限大、無限小の問題」中に出ていた次の極限を

　　

証明することにする。

 

【証明１】

　　

とする。

　　

だから、f(x)は0<x<1で減少、x>1で増加し、x=1で極小。

よって、

　　

x>1とすると

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終了）

 

【証明２】

t=logxとおくと、x→∞のときt→∞だから

　　

（証明終了）

 

が既知でないというのであれば、マクローリンの定理より

　　

したがって、

　　

x>0のとき

　　

よって、

　　

また、mが正の整数、x>0のとき

　　

だから、

　　

 

また、

　　

は、t=1/xとおくと、x→0+0のときt→+∞だから

　　

である。

タグ：極限 微分積分

無限大、無限小の極限計算の補足

無限大、無限小の極限計算の補足

先に

　　

と書いた。

しかし、（２）のsinxの場合、偶数次の項が出てこなず、（３）のcosxの場合、奇数次の項が出てこないので、
を強めて、とすることができる。

このように考えると、
　　

となる。

例えば、（２）に従えば

　　

（２’）に従えば

　　

となる。

次の極限を①、②を使って求めてみることにする。

　　

①を使うならば

　　

②を使うならば

　　

と計算することになり、当然、この極限値は一致する。
ここで、
　　
である。

また、②式を使うならば、

　　

という極限を、次のように求めることができる。

　　

右ののグラフを見ると、

　　

でもあることがわかると思う。

また、

　　

である。

このことは、下の図を見るとわかると思う。

タグ：微分積分 極限

無限大、無限小などの問題

無限大、無限小などの問題

問題１　x→0+0のとき、次の無限小を小さい方から順に並べよ。

　　

【解】

　　

だから、sinxはxと同位の無限小。

　　

よって、x²logxはxより高位の無限小。

x=0のごく近くでは

　　

だから

　　

t=1/xとすると、x→0+0のときt→+∞だから

　　

したがって、はx²logxよりも高位の無限小である。

以上のことより

　　

の順である。

（解答終了）

定数倍の違いを無視したとき、高位の無限小は低位の無限小よりも早く０に収束する。

このことは、右のグラフをよくわかると思う。

ちなみに、y=xはy=sinxのx=0における接線である。

 

問題２　x→∞のとき、次の無限大を小さい順から並べよ。

　　

【解】

　　

よって、√xはx/logxよりも低位の無限大。

　　

だから、log(logx)は√xよりも低位の無限大。

したがって、

　　

（解答終了）

感覚的に言うと、これはどちらが早く、勢い良く±∞に発散するかを考えればよい。

微妙ですが、グラフを見ると、このことがわかるのではないか。

ちなみに、ロピタルの定理を使うと

　　

ロピタルの定理を使わないのならば、t>0とし

　　

また、x>eのとき、log(logx)>0、logx<xだから

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

になる。

 

問題３　次の関数のx→0のときのxに対する無限小を求めよ。

　　

【解】

　　

よって、２位の無限小である。

（解答終了）

ランダウ記号（Landauのo）を用いて解くと次のようになる。

【別解】

マクローリン展開より

　　

したがって

　　

よって、xに対する２位の無限小である。

（別解終了）

上の計算では次のランダウ記号の演算規則を使用している。

　　

問題４　マクローリンの定理を使って次の極限を求めよ。

　　

【解答】

（１）　マクローリンの定理より

　　

したがって、

 　　

（２）　マクローリンの定理より

　　

よって、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分 極限

ランダウの記号を用いた極限の計算

ランダウの記号を用いた極限の計算

前回の復習をかねてランダウ記号（ランダウのo）の定義を示す

　　

のとき

　　

とあらわす。

たとえば、

　　

だから

　　

である。

さらに、前回、紹介した定理を再掲する。

定理　f(x)が0を含む開区間Iで級関数であるとき

　　

である。

指数関数をマクローリン展開すると

　　
となるから、

　　

である。

したがって

　　

同様に、

　　

と、ランダウの記号を用いて極限の計算をすることができる。

 

問１　ランダウの記号を用いて次の極限値を求めよ。

　　

【解】

（１）　マクローリン展開より

　　

したがって

　　

（２）　マクローリン展開より

　　

したがって

　　

（解答終了）

問２　ランダウの記号を用いて次の極限を計算せよ。

　　

ランダウ記号を用いてより複雑な極限を求めるために必要になるので、ランダウ記号（ランダウのoの）演算規則に関する定理を紹介しておく。

定理

　　

【略証】
　　

（証明終了）

タグ：微分積分 極限

ワンポイントゼミ 無限大、無限小の極限の補足

ワンポイントゼミ　無限大、無限小の極限の補足

 

無限大、無限小に出てきた極限の求め方について補足説明することにする。

　　

 

x→0のとき、1−cosx→0、また、x²→0だから、これは不定形。

したがって、ロピタルの定理より

　　

と求めることができる。

 

また、半角公式から

　　

となるので、

　　

ここで、θ=x/2とおくと、x→0のときθ→0となるから

　　

 

すこし大袈裟だが、マクローリン展開を利用すると、

　　

となるから、

　　

x≠0のとき

　　

x→0のとき

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

 

タグ：極限 微分積分

無限大、無限小

無限大、無限小

§１　高位、同位、低位の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。

ならば、x→aのときf(x)は無限小であり、（または）ならばx→aのときfは無限大という。

f、gが無限小のとき

　　

であるという。

fとが同位の無限小であるとき、fはgに対してα位の無限小であるといい、αを位数という

例１

 　　

だから、sinxはxと同位の無限小。

　　

だから、1−cosxはx²と同位でxに対して２位の無限小である。

 

f、gが無限大のとき

　　

であるという。

fとが同位の無限大であるとき、fはgに対してα位の無限大であるといい、αを位数という。

例２

　　

だから、√xはxより低位の無限大で、

　　

になるので、√xはxに対し1/2位の無限大。

また、
　　

だから、xは√xより高位の無限大で、xは√xに対して2位の無限大である。
nが任意の正の正数であるとき
　　

が成立するので、指数関数は任意の高位の無限大である。

§２　ランダウ（Landau）のスモールオーo、ビッグオーO

　　

であるとき、

　　

で表し、oをランダウ（Landau）のスモールオーという。

また、

　　

であるとき、

　　

で表し、Oをランダウのビッグオーという。

例３

　　

だから、

　　

また、

　　

だから

　　

 

問１　次が成立することを示せ。

　　

【解】

（１）

　　

だから、
　　

よって、

　　

（２）

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

定理　f(x)が0を含む開区間Iで級関数であるとき

　　

である。

【証明】

マクローリンの定理より

　　

をみたすθが存在する。

したがって、

　　

は、f(x)がIで級だから、Iで連続。

かつ、

　　

だから、

　　

よって、証明された。

（証明終了）

 

以上のことから、次のことが成り立つ。

　　

任意の正の自然数に対して

　　

ここで、

　　

である。

（２）では偶数次の項の係数が０、（３）では奇数次の項の係数が０で、（２）では偶数次の項、（３）では奇数次の項が出ないので、強めると、次のようになる。

　　

タグ：極限 微分積分

統計 回帰直線と相関係数、そして、決定係数

統計　回帰直線と相関係数、そして、決定係数

かりに次のようなn個の２次元の点で表されるデータがあるとする。

　　

このとき、回帰直線の傾きaとy切片は

　　

である。

回帰直線の方程式は

　　

ここではそれぞれx、yの平均であり、はxの標準偏差、共分散で、

　　

相関係数rは

　　

である。

この回帰直線によってxの値から予測されるyの予測値はは①を使って

　　

と計算される。

以上を説明したところで、次の等式を証明することにする。

　　

【証明】

②の左辺−②の右辺
　　

上の式に

　　

を代入すると
　　

よって、

　　

（証明終了）

　　

この式を右辺第１項

　　

は実際の「データと予測値の差」、残差の２乗を足しあわせたもの、残差平方和。要するに、予測のハズレ具合をあらわしている。

そこで、回帰直線の予測の正確さを表す次の量を定義すると

　　

となる。

つまり、相関係数の２乗は回帰直線（回帰曲線）の予測の精度を表す一つの尺度と考えることができ、８種類ある決定係数R²の一つである。また、決定係数は寄与率とも呼ばる。

右の表は「ねこ騙し数学」の訪問者数とページビューのデータである。

この散布図と回帰直線、相関係数、決定係数R²は次の通り。

参考までに、横軸に訪問者数、ページビューの実際の値と回帰直線の方程式からの予測値との差、つまり、残差を縦軸にとった、残差プロットも示しておく。

タグ：統計