ねこ騙し数学番外編だケロ！！ 時間つなぎのために微分積分の問題を解いてみた

ねこ騙し数学　番外編

ベクトル解析のあと、何をやるか決めていないので、決まるまでの場繋ぎとして、大昔の大学入試に出た微分積分の問題をちょっと解いてみるにゃ。

問題１　f(x)、g(x)は微分可能な関数、またf(x)の導関数f'(x)も微分可能とする。0≦x≦1に対し、

　　

で、f'(1)≧0、f(0)≧0であるならば、f(x)（0≦x≦1）であることを証明せよ。

【解】

　　

だから、g(x)f'(x)は減少関数。

よって、

　　

また、f'(1)≧0、g(x)>0なので、

　　

つまり、f(x)は0≦x≦1で増加関数。

よって、

　　

大学の入学試験でこういう問題が出たら、難しくはないけれど、受験生は意外に青ざめるかもしれない。

さらに、ネムネコが新たに仕入れた数学のお絵描きソフトを習得するための問題を一つ。

問題２　曲線y=logxと、点(0,1)を通るこの曲線の接線と、x軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。

【解】

曲線y=f(x)=logxとその接線の接点Pのx座標をx=tとする。そうすると、Pの座標は(t,logt)となる。

よって、接線の方程式は

　　

となる。これが点(0,1)を通るので、

　　

だから、接線の方程式は

　　

曲線y=logxと、点(0,1)を通るこの曲線の接線と、x軸とで囲まれる領域は

　　

だから、囲まれる面積は

　　

となる。

なのですが、馬鹿正直に積分の計算をする必要はない。

図を見れば分かる通り、三角形PQRの面積から薄紫の部分を引いたものが求める面積。

三角形PQRの面積は底辺×高さ÷２だから

　　三角形PQRの面積=(QR)×RP÷2=(2e²)×2/2=2e²

と簡単に求まる。

そして、これは

　　

と同じもの。

だから、

　　

と計算してもいい。

タグ：微分積分