第１４回 二次関数の基本変形とそのグラフ

第１４回　二次関数の基本変形とそのグラフ

前回、y=f(x)という関数をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動させると、

　　

になるということを話した。

そして、y=f(x)=ax²という２次関数があれば、

　　

になり、この放物線の（対称）軸はx=pで頂点は(p,q)となる。

 

では、本題！！

　　

という２次関数があるとする。

これを次のように変形する。

　　

このような変形を二次関数の基本変形と言うにゃ。

結果だけを書くと、

　　

となり、このことから、２次関数y=ax²+bx+cは、軸を、頂点をとする放物線であることが分かる。

そして、これはy=ax²を平行移動したものだケロ。

また、このことから、

a>0のときで最小となり、最小値がとなる。

何故ならば、

　　

だから、すべてのxについて

　　

となるからだにゃ。

同様に、

a<0のとき、で最大となり、最大値はとなる。

抽象的な話だと分かりづらいと思うので、次の問題を解いてみるにゃ。

問題　次の２次関数の頂点の座標と軸の方程式を求め、グラフをかけ。

　　

【解】

（１）　y=x²−3x+2を基本変形するケロ。

a=1、b=−3、c=2として①を使ってもいいけれど、公式なんて覚えるもんじゃないにゃ。

　　

このことから、頂点はで軸の方程式がx=3/2。

（２）　y=x²+2x+1=(x+1)²だから、頂点は(−1,0)で軸の方程式はx=−1となる。

（３）　y=−2x²−4x+1を基本変形する。

　　

よって、頂点は(−1,3)で軸の方程式はx=−1である。

このグラフを見ると、a>0のときに軸のところで最小値に、そして、a<0のとき軸のところで最大値になることがわかると思うにゃ。

さらに、y=x²−4x+5という２次関数を考える。

これは、基本変形すると、y=(x−2)²+1になるので、頂点は(2,1)だにゃ。そして、y≧1だから、x軸（y=0）と交わることはない。

これは何を意味しているかというと、

　　

を満たす実数xは存在しないということ。x軸、つまり、y=0とy=x²−4x+5と交わらないからね〜。

このことは、上の２次方程式の判別式を計算してみれば分かる。

　　

となり、この２次方程式を満たすxは虚根で、実根ではない。

判別式が出たので、

　　

をじっと見つめるにゃ。

　　

だから、①式は次のように書き換えることができる。

　　

a>0のとき、で最小で、最小値はだケロ。

だから、D>0のとき、最小値はマイナスとなり、必ずこの曲線はx軸と２点で交わる。

D=0のときは、最小値は０となり、この曲線はでx軸と接する。そして、重根になる。

D<0のとき、最小値はプラスだから、x軸と曲線が交わることは絶対にない。そして、この時、xの値に限らず、y>0となる。

a<0のときは、グラフをひっくり返せばいいケロ(^^ゞ

ということで、結果をまとめると次のようになる。

２次関数y=ax²+bx+c

（１）　基本変形

　　

（２）　軸の方程式と頂点

　　

（３）　最大・最小

　　

（４）　x軸との共有点

判別式をD=b²−4acとすると、D>0ならば共有点（交点）は２つ。D=0のとき共有点（接点）は１つ。D<0のと共有点は無し。

a>0のとき、D<0ならば恒等的にy=ax²+bx+c>0である。これの逆、a>0のとき、恒等的にy=ax²+bx+c>0であるならばD<0も成り立つ。

まとめとして書いてあるけれど、（４）以外は絶対に覚えてはいけないにゃ。死んでも覚えてはいけない。

頭の中、または、紙の上でx軸とy軸をかいて、放物線をえがく。そして、頂点を動かして、頂点とx軸との位置関係を考えれば、（１）〜（４）はすぐに出てくるにゃ。

だから、絶対に覚えてはいけない。

何で覚えてはいけないかって？

覚えると忘れるからだにゃ。覚えなければ、絶対に忘れることはない！！

タグ：中学数学