第４回 関数と座標

第４回　関数と座標

§関数

ともなって２つの変わる量

個数（個）	1	2	3	4	5	6
代金（円）	80	160	240	320	400	480

上の例の個数と代金のように、一つの量が変わるに連れてもう一方の量が変わるような量をともなって変わる２つの変わる量という。

いろいろと変わる数量を一つの文字であらわし、いろいろな値をとる文字を変数、変数の取りうる範囲を変域という。

上の例で、個数をx、代金をyとすると、xとyの間にはy=80xという関係がある。

xの変域　{1, 2, 3, 4, 5, 6}

yの変域　{80, 160, 240, 320, 400, 480}

関数

変数x、yがあって、xの値を決めるとyの値がひとつだけに決まるとき、yはxの関数という。

中学では、このように関数を教えるらしい。難しいケロ。

問題１　まわり４０ｃｍの長方形がある。縦の長さをxｃｍ、横の長さをyｃｍとして、次の問いに答えよ。

（１）　yをxの式であらわせ。

（２）　x=5のときのyの値を答えよ。

（３）　yはxの関数と言えるか。

【解】

（１）　2(x+y)=40だからx+y=20。よって、y=20−x。

（２）　x=5のとき、y=20−x=20−5=15。
（３）　xの値が与えられるとyの値もただひとつ決まるので関数である。

この問題にはないけれど、xの変域（定義域）は0<x<20、yの変域（地域）も0<y<20。

§座標

座標

下の図で、横の数直線をx軸、縦の数直線をy軸といい、x軸とy軸を合せて座標軸という。さらに、x軸とy軸の交点を原点と言いOであらわす。

点の座標

上の図の点Pの位置は、Pからx軸、y軸におろした垂線と座標軸の交点の座標（？）3と4をの組(3,4)をPの座標という。また、3をPのx座標、4をPのy座標という。

象限

座標軸で分けられた４つの部分。上図の①を第１象限、②を第２象限、③を第３象限、④を第４象限という。

 

§中点

２点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)の中点の座標は

　　

である。

(a,b)とx軸について対称な点は(a,−b）、y軸について対称な点は(−a,b)であり、原点について対称な点は(−a,−b）である。

問題２　点(3,−2)について、点(1,2)と対称な点の座標を求めよ。

【解】

対称な点の座標を(x,y)とする。このとき、

という関係があるので、x+1=6、y+2=−4となり、(x,y)=(5,−6)となる。

問題３　点A(2,4)、B(6,2)がある。

（１）　点Aと原点Oについて対称な点の座標を求めよ。

（２）　平行四辺形AOBCをかき、点Cの座標を求めよ。

（３）　平行四辺形AOBCの面積を求めよ。

【解】

（１）　(−2,−4)

（２）　(8,6)

（３）　A、Bからx軸への垂線をおろし、x軸との交点をA'、B'とする。

　　△AOB=△AOA'+台形AA'B'B−△BOB'

になる。

　　

平行四辺形の面積はこの２倍なので、答えは２０。

中学の範囲を超えるけれど、ベクトルを使うならば、

　　

そして、（３）は

　　

で与えられる。

で、

　　

とすると、

　　

になるということをやったにゃ。

だから、

　　

と、簡単に暗算で出てくるのであった。

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